MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ring1eq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ring1eq0 18354
Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternatively, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ring1eq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u 1 = (1r𝑅)
ring1eq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring1eq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 1 = 0𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
21oveq1d 6537 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = ( 0 (.r𝑅)𝑋))
31oveq1d 6537 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = ( 0 (.r𝑅)𝑌))
4 simpl1 1056 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5 simpl2 1057 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋𝐵)
6 ring1eq0.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2604 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 ring1eq0.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
96, 7, 8ringlz 18351 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = 0 )
104, 5, 9syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = 0 )
11 simpl3 1058 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌𝐵)
126, 7, 8ringlz 18351 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝑌) = 0 )
134, 11, 12syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑌) = 0 )
1410, 13eqtr4d 2641 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = ( 0 (.r𝑅)𝑌))
153, 14eqtr4d 2641 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = ( 0 (.r𝑅)𝑋))
162, 15eqtr4d 2641 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = ( 1 (.r𝑅)𝑌))
17 ring1eq0.u . . . . 5 1 = (1r𝑅)
186, 7, 17ringlidm 18335 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
194, 5, 18syl2anc 690 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
206, 7, 17ringlidm 18335 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
214, 11, 20syl2anc 690 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
2216, 19, 213eqtr3d 2646 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
2322ex 448 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 1 = 0𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  .rcmulr 15710  0gc0g 15864  1rcur 18265  Ringcrg 18311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-plusg 15722  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313
This theorem is referenced by:  ring1ne0  18355  abvneg  18598  isnzr2  19025  ringelnzr  19028  nrginvrcn  22234
  Copyright terms: Public domain W3C validator