Theorem ring1ne0 18414

Description: If a ring has at least two elements, its one and zero are different. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1ne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1ne0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1ne0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1ne0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem ring1ne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ring1ne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		hashgt12el 13070	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
5	3, 4	mpan 702	. . 3 ⊢ (1 < (#‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
7		ring1ne0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8		ring1ne0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	1, 7, 8	ring1eq0 18413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
10	9	necon3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 ))
11	10	3expib 1260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 )))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 )))
13	12	com3l 87	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )))
14	13	rexlimivv 3018	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 1 ≠ 0 ))
15	6, 14	mpcom 37	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  1c1 9816   < clt 9953  #chash 12979  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  1_rcur 18324  Ringcrg 18370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372

This theorem is referenced by:  isnzr2hash  19085  01eq0ring  19093  el0ldep  42049