MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringass 18485
Description: Associative law for the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringass ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringass
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18474 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 18416 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringcl.t . . . 4 · = (.r𝑅)
61, 5mgpplusg 18414 . . 3 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndass 17223 . 2 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
82, 7sylan 488 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  Mndcmnd 17215  mulGrpcmgp 18410  Ringcrg 18468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mgp 18411  df-ring 18470
This theorem is referenced by:  ringinvnzdiv  18514  ringmneg1  18517  ringmneg2  18518  imasring  18540  opprring  18552  dvdsrtr  18573  dvdsrmul1  18574  unitgrp  18588  dvrass  18611  dvrcan1  18612  drngmul0or  18689  isdrngd  18693  subrginv  18717  issubrg2  18721  sralmod  19106  unitrrg  19212  sraassa  19244  psrlmod  19320  psrass1  19324  psrass23l  19327  psrass23  19329  frlmphl  20039  mamuass  20127  mamuvs1  20130  mavmulass  20274  mdetrsca  20328  chfacfpmmulgsum2  20589  nrginvrcnlem  22405  ply1divex  23800  rdivmuldivd  29576  dvrcan5  29578  ornglmullt  29592  mdetpmtr1  29671  mdetpmtr12  29673  mdetlap  29680  matunitlindflem1  33037  lflvscl  33844  lflvsass  33848  eqlkr3  33868  lkrlsp  33869  lcfl7lem  36268  lclkrlem2m  36288  lcfrlem1  36311  hgmapvvlem1  36695
  Copyright terms: Public domain W3C validator