Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcbasbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcbasbas 42359
Description: An element of the base set of the base set of the category of unital rings (i.e. the base set of a ring) belongs to the considered weak universe. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbasbas.r 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbasbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbasbas.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
ringcbasbas ((𝜑𝑅𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ringcbasbas
StepHypRef Expression
1 ringcbasbas.r . . . . 5 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 ringcbasbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 ringcbasbas.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
41, 2, 3ringcbas 42336 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
54eleq2d 2716 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐵𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
6 elin 3829 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑅𝑈𝑅 ∈ Ring))
7 df-base 15910 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → 𝑅𝑈)
107, 8, 9wunstr 15928 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
1110ex 449 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ WUni → (𝑅𝑈 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1211, 3syl11 33 . . . . . 6 (𝑅𝑈 → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑅𝑈𝑅 ∈ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
146, 13sylbi 207 . . . 4 (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1514com12 32 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
165, 15sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝑅𝐵 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1716imp 444 1 ((𝜑𝑅𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  cfv 5926  WUnicwun 9560  1c1 9975  Basecbs 15904  Ringcrg 18593  RingCatcringc 42328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-wun 9562  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-resc 16518  df-estrc 16810  df-mhm 17382  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763  df-ringc 42330
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2lem2  42362  funcringcsetcALTV2lem3  42363  funcringcsetcALTV2lem7  42367
  Copyright terms: Public domain W3C validator