MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcl 18332
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18324 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 18266 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringcl.t . . . 4 · = (.r𝑅)
61, 5mgpplusg 18264 . . 3 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndcl 17072 . 2 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 7syl3an1 1350 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  .rcmulr 15717  Mndcmnd 17065  mulGrpcmgp 18260  Ringcrg 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-plusg 15729  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mgp 18261  df-ring 18320
This theorem is referenced by:  ringlz  18358  ringrz  18359  ringnegl  18365  rngnegr  18366  ringmneg1  18367  ringmneg2  18368  ringm2neg  18369  ringsubdi  18370  rngsubdir  18371  mulgass2  18372  ringlghm  18375  ringrghm  18376  gsumdixp  18380  prdsmulrcl  18382  imasring  18390  qusring2  18391  opprring  18402  dvdsrcl2  18421  dvdsrtr  18423  dvdsrmul1  18424  dvrcl  18457  dvrass  18461  irredrmul  18478  isdrngd  18543  subrgmcl  18563  abvtrivd  18611  srngmul  18629  issrngd  18632  idsrngd  18633  lmodmcl  18646  lmodprop2d  18696  prdslmodd  18738  sralmod  18956  2idlcpbl  19003  qusrhm  19006  quscrng  19009  assa2ass  19091  assapropd  19096  asclrhm  19111  psrmulcllem  19156  psrvscacl  19162  psrlmod  19170  psrlidm  19172  psrridm  19173  psrass1  19174  psrdi  19175  psrdir  19176  psrass23l  19177  psrcom  19178  psrass23  19179  mplmonmul  19233  mplmon2mul  19270  mplind  19271  evlslem2  19281  evlslem6  19282  evlslem3  19283  evlslem1  19284  mpfind  19305  psropprmul  19377  coe1mul2  19408  coe1tmmul2  19415  coe1tmmul  19416  evl1muld  19476  frlmphl  19886  mamucl  19973  mamuass  19974  mamudi  19975  mamudir  19976  mamuvs1  19977  mamuvs2  19978  mamulid  20013  mamurid  20014  madetsmelbas  20036  madetsmelbas2  20037  mat1dimscm  20047  mat1dimmul  20048  mat1mhm  20056  dmatmul  20069  dmatmulcl  20072  scmatscmiddistr  20080  scmatscm  20085  scmatmulcl  20090  smatvscl  20096  scmatmhm  20106  mavmulcl  20119  mavmulass  20121  mdetleib2  20160  mdetf  20167  mdetrlin  20174  mdetrsca  20175  mdetrsca2  20176  mdetralt  20180  mdetero  20182  mdetuni0  20193  mdetmul  20195  m2detleib  20203  madugsum  20215  madulid  20217  cpmatmcllem  20289  cpmatmcl  20290  mat2pmatmul  20302  decpmatmullem  20342  decpmatmul  20343  decpmatmulsumfsupp  20344  pm2mpmhmlem1  20389  pm2mpmhmlem2  20390  chfacfisf  20425  chfacfscmulgsum  20431  chfacfpmmulcl  20432  chfacfpmmulgsum  20435  chfacfpmmulgsum2  20436  cayhamlem1  20437  cpmadugsumlemF  20447  cayhamlem4  20459  nrgdsdi  22226  nrgdsdir  22227  nrginvrcnlem  22252  mdegmullem  23586  coe1mul3  23607  deg1mul2  23622  deg1mul3  23623  deg1mul3le  23624  ply1domn  23631  ply1divmo  23643  ply1divex  23644  uc1pmon1p  23659  r1pcl  23665  r1pid  23667  dvdsq1p  23668  dvdsr1p  23669  ply1rem  23671  dchrelbas3  24707  dchrmulcl  24718  dchrinv  24730  abvcxp  25048  rdivmuldivd  28915  ornglmulle  28929  orngrmulle  28930  ornglmullt  28931  orngrmullt  28932  orngmullt  28933  mdetpmtr1  29010  matunitlindflem1  32358  matunitlindflem2  32359  lflnegcl  33163  lflvscl  33165  lkrlsp  33190  ldualvsass  33229  lclkrlem2m  35609  lclkrlem2o  35611  lclkrlem2p  35612  lcfrlem2  35633  lcfrlem3  35634  lcfrlem29  35661  mapdpglem30  35792  hdmapglem7  36022  hbtlem2  36496  mendlmod  36565  mendassa  36566  isdomn3  36584  mon1psubm  36586  deg1mhm  36587  lidldomn1  41692  ply1mulgsum  41953  lincscm  41994  lincscmcl  41996  lincresunitlem2  42040  lmod1lem4  42054
  Copyright terms: Public domain W3C validator