MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcmn 18627
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ringcmn (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn
StepHypRef Expression
1 ringabl 18626 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablcmn 18245 . 2 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
31, 2syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  CMndccmn 18239  Abelcabl 18240  Ringcrg 18593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595
This theorem is referenced by:  ringsrg  18635  gsummulc1  18652  gsummulc2  18653  gsumdixp  18655  psrmulcllem  19435  psrlidm  19451  psrridm  19452  psrass1  19453  psrdi  19454  psrdir  19455  psrcom  19457  mplmonmul  19512  mplcoe1  19513  evlslem2  19560  evlslem1  19563  psropprmul  19656  coe1mul2  19687  coe1fzgsumdlem  19719  gsumsmonply1  19721  gsummoncoe1  19722  lply1binom  19724  evls1gsumadd  19737  evl1gsumdlem  19768  gsumfsum  19861  nn0srg  19864  rge0srg  19865  regsumsupp  20016  ip2di  20034  frlmphl  20168  mamucl  20255  mamuass  20256  mamudi  20257  mamudir  20258  mat1dimmul  20330  dmatmul  20351  mavmulcl  20401  mavmulass  20403  mdetleib2  20442  mdetf  20449  mdetrlin  20456  mdetralt  20462  m2detleib  20485  madugsum  20497  smadiadetlem3lem2  20521  smadiadet  20524  mat2pmatmul  20584  m2pmfzgsumcl  20601  decpmatmul  20625  pmatcollpw1  20629  pmatcollpwfi  20635  pmatcollpw3fi1lem1  20639  pm2mpcl  20650  mply1topmatcl  20658  mp2pm2mplem2  20660  mp2pm2mplem4  20662  mp2pm2mp  20664  pm2mpghm  20669  pm2mpmhmlem2  20672  pm2mp  20678  chfacfscmulgsum  20713  chfacfpmmulgsum  20717  cpmadugsumlemF  20729  cpmadugsumfi  20730  cayhamlem4  20741  tdeglem1  23863  tdeglem3  23864  tdeglem4  23865  plypf1  24013  taylfvallem  24157  taylf  24160  tayl0  24161  taylpfval  24164  jensenlem1  24758  jensenlem2  24759  jensen  24760  amgm  24762  ofldchr  29942  mdetpmtr1  30017  matunitlindflem1  33535  lfladdcl  34676  ply1mulgsum  42503  amgmwlem  42876
  Copyright terms: Public domain W3C validator