MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcmn 18353
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ringcmn (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn
StepHypRef Expression
1 ringabl 18352 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablcmn 17971 . 2 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
31, 2syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  CMndccmn 17965  Abelcabl 17966  Ringcrg 18319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-plusg 15730  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321
This theorem is referenced by:  ringsrg  18361  gsummulc1  18378  gsummulc2  18379  gsumdixp  18381  psrmulcllem  19157  psrlidm  19173  psrridm  19174  psrass1  19175  psrdi  19176  psrdir  19177  psrcom  19179  mplmonmul  19234  mplcoe1  19235  evlslem2  19282  evlslem1  19285  psropprmul  19378  coe1mul2  19409  coe1fzgsumdlem  19441  gsumsmonply1  19443  gsummoncoe1  19444  lply1binom  19446  evls1gsumadd  19459  evl1gsumdlem  19490  gsumfsum  19581  nn0srg  19584  rge0srg  19585  regsumsupp  19735  ip2di  19753  frlmphl  19887  mamucl  19974  mamuass  19975  mamudi  19976  mamudir  19977  mat1dimmul  20049  dmatmul  20070  mavmulcl  20120  mavmulass  20122  mdetleib2  20161  mdetf  20168  mdetrlin  20175  mdetralt  20181  m2detleib  20204  madugsum  20216  smadiadetlem3lem2  20240  smadiadet  20243  mat2pmatmul  20303  m2pmfzgsumcl  20320  decpmatmul  20344  pmatcollpw1  20348  pmatcollpwfi  20354  pmatcollpw3fi1lem1  20358  pm2mpcl  20369  mply1topmatcl  20377  mp2pm2mplem2  20379  mp2pm2mplem4  20381  mp2pm2mp  20383  pm2mpghm  20388  pm2mpmhmlem2  20391  pm2mp  20397  chfacfscmulgsum  20432  chfacfpmmulgsum  20436  cpmadugsumlemF  20448  cpmadugsumfi  20449  cayhamlem4  20460  tdeglem1  23567  tdeglem3  23568  tdeglem4  23569  plypf1  23717  taylfvallem  23861  taylf  23864  tayl0  23865  taylpfval  23868  jensenlem1  24458  jensenlem2  24459  jensen  24460  amgm  24462  ofldchr  28939  mdetpmtr1  29011  matunitlindflem1  32369  lfladdcl  33170  ply1mulgsum  41964  amgmwlem  42310
  Copyright terms: Public domain W3C validator