MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcom 19258
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 19609.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringcom ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringacl.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 19247 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
6 ringacl.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑅)
72, 6ringacl 19257 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵)
81, 5, 5, 7syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵)
9 simp2 1129 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
10 simp3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
11 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
122, 6, 11ringdi 19245 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)))
131, 8, 9, 10, 12syl13anc 1364 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)))
142, 6ringacl 19257 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
152, 6, 11ringdir 19246 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
161, 5, 5, 14, 15syl13anc 1364 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
1713, 16eqtr3d 2855 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
182, 6, 11ringdir 19246 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)))
191, 5, 5, 9, 18syl13anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)))
202, 11, 3ringlidm 19250 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
211, 9, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
2221, 21oveq12d 7163 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
2319, 22eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
242, 6, 11ringdir 19246 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)))
251, 5, 5, 10, 24syl13anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)))
262, 11, 3ringlidm 19250 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
271, 10, 26syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
2827, 27oveq12d 7163 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
2925, 28eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
3023, 29oveq12d 7163 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
312, 11, 3ringlidm 19250 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
321, 14, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
3332, 32oveq12d 7163 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3417, 30, 333eqtr3d 2861 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35 ringgrp 19231 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
361, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
372, 6ringacl 19257 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
381, 9, 9, 37syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
392, 6grpass 18050 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
4036, 38, 10, 10, 39syl13anc 1364 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
412, 6grpass 18050 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4236, 14, 9, 10, 41syl13anc 1364 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4334, 40, 423eqtr4d 2863 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
442, 6ringacl 19257 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
451, 38, 10, 44syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
462, 6ringacl 19257 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
471, 14, 9, 46syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
482, 6grprcan 18075 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
4936, 45, 47, 10, 48syl13anc 1364 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5043, 49mpbid 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
512, 6grpass 18050 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
5236, 9, 9, 10, 51syl13anc 1364 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
532, 6grpass 18050 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5436, 9, 10, 9, 53syl13anc 1364 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5550, 52, 543eqtr3d 2861 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
562, 6ringacl 19257 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57563com23 1118 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
582, 6grplcan 18099 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
5936, 14, 57, 9, 58syl13anc 1364 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6055, 59mpbid 233 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Grpcgrp 18041  1rcur 19180  Ringcrg 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228
This theorem is referenced by:  ringabl  19259
  Copyright terms: Public domain W3C validator