Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringid 18772
 Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringid.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑢𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑋   𝑢, ·

Proof of Theorem ringid
StepHypRef Expression
1 ringid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2758 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2ringidcl 18766 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
43adantr 472 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
5 oveq1 6818 . . . . 5 (𝑢 = (1r𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
65eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑢 = (1r𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋))
7 oveq2 6819 . . . . 5 (𝑢 = (1r𝑅) → (𝑋 · 𝑢) = (𝑋 · (1r𝑅)))
87eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑢 = (1r𝑅) → ((𝑋 · 𝑢) = 𝑋 ↔ (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋))
96, 8anbi12d 749 . . 3 (𝑢 = (1r𝑅) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)))
109adantl 473 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑢 = (1r𝑅)) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)))
11 ringid.t . . 3 · = (.r𝑅)
121, 11, 2ringidmlem 18768 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋))
134, 10, 12rspcedvd 3454 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑢𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∃wrex 3049  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  .rcmulr 16142  1rcur 18699  Ringcrg 18745 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-plusg 16154  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747 This theorem is referenced by:  ringadd2  18773
 Copyright terms: Public domain W3C validator