MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidcl 19247
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidcl (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)

Proof of Theorem ringidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 19232 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringidcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 19174 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringidcl.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
61, 5ringidval 19182 . . 3 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndidcl 17914 . 2 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1𝐵)
82, 7syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Basecbs 16471  Mndcmnd 17899  mulGrpcmgp 19168  1rcur 19180  Ringcrg 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228
This theorem is referenced by:  ringid  19253  rngo2times  19255  ringcom  19258  ringnegl  19273  rngnegr  19274  ringmneg1  19275  ringmneg2  19276  imasring  19298  opprring  19310  dvdsrid  19330  dvdsrneg  19333  1unit  19337  ringinvdv  19373  isdrng2  19441  isdrngd  19456  subrgid  19466  abv1z  19532  abvneg  19534  srng1  19559  issrngd  19561  lmod1cl  19590  lmodvsneg  19607  lmodsubvs  19619  lmodsubdi  19620  lmodsubdir  19621  lmodprop2d  19625  rmodislmod  19631  lssvnegcl  19657  prdslmodd  19670  lmodvsinv  19737  islmhm2  19739  lbsind2  19782  lspsneq  19823  lspexch  19830  lidl1el  19919  rsp1  19925  lpi1  19949  isnzr2  19964  isnzr2hash  19965  0ring01eq  19972  fidomndrnglem  20007  asclf  20039  asclghm  20040  ascl0  20041  asclmul1  20042  asclmul2  20043  ascldimul  20044  ascldimulOLD  20045  asclrhm  20047  rnascl  20048  assamulgscmlem1  20056  psrlmod  20109  psr1cl  20110  mvrf  20132  mplsubrg  20148  mplmon  20172  mplmonmul  20173  mplcoe1  20174  mplind  20210  evlslem1  20223  coe1pwmul  20375  ply1scl0  20386  ply1scl1  20388  ply1idvr1  20389  lply1binomsc  20403  mulgrhm  20573  chrcl  20601  chrid  20602  chrdvds  20603  chrcong  20604  zncyg  20623  zrhpsgnelbas  20666  uvcvvcl2  20860  uvcff  20863  lindfind2  20890  mamumat1cl  20976  mat1bas  20986  matsc  20987  mat0dimid  21005  mat1mhm  21021  dmatid  21032  scmatscmide  21044  scmatscmiddistr  21045  scmatmats  21048  scmatscm  21050  scmatid  21051  scmataddcl  21053  scmatsubcl  21054  scmatmulcl  21055  smatvscl  21061  scmatrhmcl  21065  scmatf1  21068  scmatmhm  21071  mat0scmat  21075  mat1scmat  21076  mdet0pr  21129  mdet1  21138  mdetunilem8  21156  mdetunilem9  21157  mdetuni0  21158  mdetmul  21160  m2detleiblem5  21162  m2detleiblem6  21163  maducoeval2  21177  maduf  21178  madutpos  21179  madugsum  21180  madulid  21182  minmar1marrep  21187  minmar1cl  21188  marep01ma  21197  smadiadetglem1  21208  smadiadetglem2  21209  matinv  21214  1pmatscmul  21238  1elcpmat  21251  mat2pmat1  21268  decpmatid  21306  idpm2idmp  21337  chmatcl  21364  chmatval  21365  chpmat1dlem  21371  chpmat1d  21372  chpdmatlem0  21373  chpdmatlem2  21375  chpdmatlem3  21376  chpidmat  21383  chmaidscmat  21384  cpmidgsumm2pm  21405  cpmidpmatlem2  21407  cpmidpmatlem3  21408  cpmadugsumlemB  21410  cpmadugsumfi  21413  cpmidgsum2  21415  chcoeffeqlem  21421  tlmtgp  22731  nrginvrcnlem  23227  clmvsubval  23640  cvsmuleqdivd  23665  cphsubrglem  23708  deg1pwle  24640  deg1pw  24641  ply1nz  24642  ply1remlem  24683  dchrmulcl  25752  dchrinv  25764  dchrhash  25774  lgsqrlem1  25849  lgsqrlem2  25850  lgsqrlem3  25851  lgsqrlem4  25852  dvdschrmulg  30785  orng0le1  30812  ofldchr  30814  suborng  30815  isarchiofld  30817  elrhmunit  30820  imaslmod  30849  rgmoddim  30907  drngdimgt0  30915  extdg1id  30952  submatminr1  30974  madjusmdetlem1  30991  zrhnm  31109  zrhchr  31116  qqh1  31125  qqhucn  31132  lflsub  36083  eqlkr  36115  eqlkr3  36117  lduallmodlem  36168  ldualvsubcl  36172  ldualvsubval  36173  dochfl1  38492  lcfrlem2  38559  lcdvsubval  38634  mapdpglem30  38718  hgmapval1  38909  hdmapglem5  38938  rnasclg  39009  0prjspnrel  39147  mendlmod  39671  idomodle  39674  isdomn3  39682  mon1pid  39683  mon1psubm  39684  deg1mhm  39685  lidldomn1  44120  mgpsumn  44339  ascl1  44360  ply1sclrmsm  44365  coe1id  44366  evl1at1  44374  linc0scn0  44406  linc1  44408  islindeps2  44466  lmod1lem5  44474
  Copyright terms: Public domain W3C validator