MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidss 18623
Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidss.g 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidss ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))

Proof of Theorem ringidss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2651 . 2 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2651 . 2 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 simp3 1083 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1𝐴)
5 ringidss.g . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
6 eqid 2651 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 ringidss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
86, 7mgpbas 18541 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
95, 8ressbas2 15978 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑀))
1093ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
114, 10eleqtrd 2732 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
12 simp2 1082 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴𝐵)
1310, 12eqsstr3d 3673 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
1413sselda 3636 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦𝐵)
15 fvex 6239 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) ∈ V
1610, 15syl6eqel 2738 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 ∈ V)
17 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
186, 17mgpplusg 18539 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
195, 18ressplusg 16040 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2016, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2120adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2221oveqd 6707 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = ( 1 (+g𝑀)𝑦))
23 ringidss.u . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
247, 17, 23ringlidm 18617 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
25243ad2antl1 1243 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
2622, 25eqtr3d 2687 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
2714, 26syldan 486 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
2821oveqd 6707 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = (𝑦(+g𝑀) 1 ))
297, 17, 23ringridm 18618 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
30293ad2antl1 1243 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
3128, 30eqtr3d 2687 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
3214, 31syldan 486 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
331, 2, 3, 11, 27, 32ismgmid2 17314 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  mulGrpcmgp 18535  1rcur 18547  Ringcrg 18593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595
This theorem is referenced by:  unitgrpid  18715  cnmgpid  19856  xrge0iifmhm  30113
  Copyright terms: Public domain W3C validator