MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidss 18343
Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidss.g 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidss ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))

Proof of Theorem ringidss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2606 . 2 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2606 . 2 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2606 . 2 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 simp3 1055 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1𝐴)
5 ringidss.g . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
6 eqid 2606 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 ringidss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
86, 7mgpbas 18261 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
95, 8ressbas2 15701 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑀))
1093ad2ant2 1075 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
114, 10eleqtrd 2686 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
12 simp2 1054 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴𝐵)
1310, 12eqsstr3d 3599 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
1413sselda 3564 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦𝐵)
15 fvex 6095 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) ∈ V
1610, 15syl6eqel 2692 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 ∈ V)
17 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
186, 17mgpplusg 18259 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
195, 18ressplusg 15761 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2016, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2120adantr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
2221oveqd 6541 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = ( 1 (+g𝑀)𝑦))
23 ringidss.u . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
247, 17, 23ringlidm 18337 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
25243ad2antl1 1215 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
2622, 25eqtr3d 2642 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
2714, 26syldan 485 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
2821oveqd 6541 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = (𝑦(+g𝑀) 1 ))
297, 17, 23ringridm 18338 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
30293ad2antl1 1215 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
3128, 30eqtr3d 2642 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
3214, 31syldan 485 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
331, 2, 3, 11, 27, 32ismgmid2 17033 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  wss 3536  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  s cress 15639  +gcplusg 15711  .rcmulr 15712  0gc0g 15866  mulGrpcmgp 18255  1rcur 18267  Ringcrg 18313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315
This theorem is referenced by:  unitgrpid  18435  cnmgpid  19570  xrge0iifmhm  29116
  Copyright terms: Public domain W3C validator