MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidval 18424
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidval.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidval 1 = (0g𝐺)

Proof of Theorem ringidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 18423 . . . . 5 1r = (0g ∘ mulGrp)
21fveq1i 6149 . . . 4 (1r𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3 fnmgp 18412 . . . . 5 mulGrp Fn V
4 fvco2 6230 . . . . 5 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
53, 4mpan 705 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
62, 5syl5eq 2667 . . 3 (𝑅 ∈ V → (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7 0g0 17184 . . . 4 ∅ = (0g‘∅)
8 fvprc 6142 . . . 4 𝑅 ∈ V → (1r𝑅) = ∅)
9 fvprc 6142 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
109fveq2d 6152 . . . 4 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
117, 8, 103eqtr4a 2681 . . 3 𝑅 ∈ V → (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
126, 11pm2.61i 176 . 2 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13 ringidval.u . 2 1 = (1r𝑅)
14 ringidval.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
1514fveq2i 6151 . 2 (0g𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
1612, 13, 153eqtr4i 2653 1 1 = (0g𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  c0 3891  ccom 5078   Fn wfn 5842  cfv 5847  0gc0g 16021  mulGrpcmgp 18410  1rcur 18422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-fv 5855  df-ov 6607  df-slot 15785  df-base 15786  df-0g 16023  df-mgp 18411  df-ur 18423
This theorem is referenced by:  dfur2  18425  srgidcl  18439  srgidmlem  18441  issrgid  18444  srgpcomp  18453  srg1expzeq1  18460  srgbinom  18466  ringidcl  18489  ringidmlem  18491  isringid  18494  prds1  18535  oppr1  18555  unitsubm  18591  rngidpropd  18616  dfrhm2  18638  isrhm2d  18649  rhm1  18651  subrgsubm  18714  issubrg3  18729  assamulgscmlem1  19267  mplcoe3  19385  mplcoe5  19387  mplbas2  19389  evlslem1  19434  ply1scltm  19570  lply1binomsc  19596  evls1gsummul  19609  evl1gsummul  19643  cnfldexp  19698  expmhm  19734  nn0srg  19735  rge0srg  19736  madetsumid  20186  mat1mhm  20209  scmatmhm  20259  mdet0pr  20317  mdetunilem7  20343  smadiadetlem4  20394  mat2pmatmhm  20457  pm2mpmhm  20544  chfacfscmulgsum  20584  chfacfpmmulgsum  20588  cpmadugsumlemF  20600  efsubm  24201  amgmlem  24616  amgm  24617  wilthlem2  24695  wilthlem3  24696  dchrelbas3  24863  dchrzrh1  24869  dchrmulcl  24874  dchrn0  24875  dchrinvcl  24878  dchrfi  24880  dchrabs  24885  sumdchr2  24895  rpvmasum2  25101  psgnid  29632  iistmd  29730  isdomn3  37263  mon1psubm  37265  deg1mhm  37266  c0rhm  41200  c0rnghm  41201  amgmwlem  41851  amgmlemALT  41852
  Copyright terms: Public domain W3C validator