Theorem ringinvnzdiv 19346

Description: In a unitary ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringinvnzdiv.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringinvnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringinvnzdiv.a	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
ringinvnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringinvnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑌,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnzdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvnzdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2		ringinvnzdiv.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringinvnzdiv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringinvnzdiv.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringinvnzdiv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		ringinvnzdiv.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	ringlidm 19324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
8	2, 3, 7	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
10	9	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
11		oveq1 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 1 = (𝑎 · 𝑋) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
12	11	eqcoms 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
13	12	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
14	2	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		ringinvnzdiv.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	3	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	15, 17, 18	3jca 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	14, 19	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	20	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
22	4, 5	ringass 19317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
24	13, 23	eqtrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
25	24	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
26		oveq2 7167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑎 · 0 ))
27		ringinvnzdiv.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
28	4, 5, 27	ringrz 19341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
29	2, 28	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
30	29	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
31	26, 30	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = 0 )
32	10, 25, 31	3eqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = 0 )
33	32	exp31 422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 )))
34	33	rexlimdva 3287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 )))
35	1, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 ))
36		oveq2 7167	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
37	4, 5, 27	ringrz 19341	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
38	2, 16, 37	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
39	36, 38	sylan9eqr 2881	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 )
40	39	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
41	35, 40	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  ._rcmulr 16569  0_gc0g 16716  1_rcur 19254  Ringcrg 19300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302

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