MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlidm 18340
Description: The unit element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t · = (.r𝑅)
rngidm.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlidm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm
StepHypRef Expression
1 rngidm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 rngidm.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 rngidm.u . . 3 1 = (1r𝑅)
41, 2, 3ringidmlem 18339 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
54simpld 473 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  1rcur 18270  Ringcrg 18316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318
This theorem is referenced by:  rngo2times  18345  ringidss  18346  ringcom  18348  ring1eq0  18359  ringinvnzdiv  18362  ringnegl  18363  imasring  18388  opprring  18400  dvdsrid  18420  unitmulcl  18433  unitgrp  18436  1rinv  18448  dvreq1  18462  ringinvdv  18463  isdrng2  18526  drngmul0or  18537  isdrngd  18541  subrginv  18565  issubrg2  18569  abv1z  18601  issrngd  18630  sralmod  18954  unitrrg  19060  asclmul1  19106  asclrhm  19109  psrlmod  19168  psrlidm  19170  mplmonmul  19231  evlslem1  19282  coe1pwmul  19416  mulgrhm  19610  mamulid  20008  madetsumid  20028  1mavmul  20115  m1detdiag  20164  mdetralt  20175  mdetunilem7  20185  mdetuni  20189  mdetmul  20190  m2detleib  20198  chfacfpmmulgsum  20430  cpmadugsumlemB  20440  nrginvrcnlem  22238  cphsubrglem  22709  ply1divex  23617  ress1r  28926  dvrcan5  28930  ornglmullt  28944  orng0le1  28949  isarchiofld  28954  madjusmdetlem1  29027  matunitlindflem1  32371  lfl0  33166  lfladd  33167  eqlkr3  33202  lcfrlem1  35645  hdmapinvlem4  36027  hdmapglem5  36028  mon1psubm  36599  lidldomn1  41706  invginvrid  41937  ply1sclrmsm  41960  ldepsprlem  42050
  Copyright terms: Public domain W3C validator