MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrghm 18370
Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringrghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2605 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 ringgrp 18317 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 ringlghm.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
61, 5ringcl 18326 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
763expa 1256 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
87an32s 841 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9 eqid 2605 . . 3 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
108, 9fmptd 6273 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵)
11 df-3an 1032 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑧𝐵𝑋𝐵) ↔ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
121, 2, 5ringdir 18332 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
1311, 12sylan2br 491 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
1413anass1rs 844 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
151, 2ringacl 18343 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
16153expb 1257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
1716adantlr 746 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
18 oveq1 6530 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
19 ovex 6551 . . . . 5 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) ∈ V
2018, 9, 19fvmpt 6172 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
2117, 20syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
22 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
23 ovex 6551 . . . . . 6 (𝑦 · 𝑋) ∈ V
2422, 9, 23fvmpt 6172 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
25 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
26 ovex 6551 . . . . . 6 (𝑧 · 𝑋) ∈ V
2725, 9, 26fvmpt 6172 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧) = (𝑧 · 𝑋))
2824, 27oveqan12d 6542 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
2928adantl 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
3014, 21, 293eqtr4d 2649 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 10, 30isghmd 17434 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  Grpcgrp 17187   GrpHom cghm 17422  Ringcrg 18312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-ghm 17423  df-mgp 18255  df-ring 18314
This theorem is referenced by:  gsummulc1  18371  fidomndrnglem  19069
  Copyright terms: Public domain W3C validator