MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringridm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringridm 18553
Description: The unit element of a ring is a right multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t · = (.r𝑅)
rngidm.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringridm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem ringridm
StepHypRef Expression
1 rngidm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 rngidm.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 rngidm.u . . 3 1 = (1r𝑅)
41, 2, 3ringidmlem 18551 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
54simprd 479 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  .rcmulr 15923  1rcur 18482  Ringcrg 18528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530
This theorem is referenced by:  ringidss  18558  ringinvnz1ne0  18573  rngnegr  18576  imasring  18600  opprring  18612  unitmulcl  18645  unitgrp  18648  dvr1  18670  dvrcan1  18672  dvrcan3  18673  subrginv  18777  issubrg2  18781  lidl1el  19199  asclmul2  19321  psrridm  19385  mplcoe1  19446  mplmon2  19474  evlslem1  19496  uvcresum  20113  frlmssuvc2  20115  mamurid  20229  matsc  20237  scmatscmide  20294  mat1scmat  20326  mulmarep1el  20359  mdet0pr  20379  mdetunilem9  20407  mdetuni0  20408  maducoeval2  20427  madugsum  20430  smadiadetglem2  20459  cramerimplem1  20470  chpmat1dlem  20621  chpdmatlem3  20626  nrginvrcnlem  22476  lgseisenlem4  25084  ress1r  29763  lfl1sc  34190  eqlkr  34205  eqlkr3  34207  lkrlsp  34208  lcfl7lem  36607  lclkrlem2m  36627  hdmapinvlem3  37031  hdmapglem5  37033  hgmapvvlem1  37034  hdmapglem7b  37039  mgpsumn  41907
  Copyright terms: Public domain W3C validator