Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringsrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringsrg 18789
 Description: Any ring is also a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
ringsrg (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)

Proof of Theorem ringsrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringcmn 18781 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2 eqid 2760 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32ringmgp 18753 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6 eqid 2760 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
74, 2, 5, 6isring 18751 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))))
87simp3bi 1142 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
9 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
104, 6, 9ringlz 18787 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
114, 6, 9ringrz 18788 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1210, 11jca 555 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ∧ (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
1312ralrimiva 3104 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ∧ (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
14 r19.26 3202 . . 3 (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))) ∧ (((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ∧ (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))) ↔ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ∧ (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
158, 13, 14sylanbrc 701 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))) ∧ (((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ∧ (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
164, 2, 5, 6, 9issrg 18707 . 2 (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))) ∧ (((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ∧ (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))))
171, 3, 15, 16syl3anbrc 1429 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  Mndcmnd 17495  Grpcgrp 17623  CMndccmn 18393  mulGrpcmgp 18689  SRingcsrg 18705  Ringcrg 18747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-srg 18706  df-ring 18749 This theorem is referenced by:  crngbinom  18821  ring1zr  19477  mplcoe5lem  19669  mdet1  20609  lmodslmd  30066
 Copyright terms: Public domain W3C validator