Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringsubdi 18645
 Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 10501 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t · = (.r𝑅)
ringsubdi.m = (-g𝑅)
ringsubdi.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x (𝜑𝑋𝐵)
ringsubdi.y (𝜑𝑌𝐵)
ringsubdi.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringsubdi (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringsubdi
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringsubdi.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringgrp 18598 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 ringsubdi.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
7 ringsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 eqid 2651 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
97, 8grpinvcl 17514 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
11 eqid 2651 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
12 ringsubdi.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
137, 11, 12ringdi 18612 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍))))
157, 12, 8, 1, 2, 6ringmneg2 18643 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍)) = ((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍)))
1615oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
1714, 16eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
18 ringsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑅)
197, 11, 8, 18grpsubval 17512 . . . 4 ((𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍)))
203, 6, 19syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍)))
2120oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))))
227, 12ringcl 18607 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
231, 2, 3, 22syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
247, 12ringcl 18607 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
251, 2, 6, 24syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
267, 11, 8, 18grpsubval 17512 . . 3 (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
2723, 25, 26syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
2817, 21, 273eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  -gcsg 17471  Ringcrg 18593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595 This theorem is referenced by:  2idlcpbl  19282  mdetuni0  20475  chfacfpmmulgsum2  20718  nrgdsdi  22516  nrginvrcnlem  22542  ply1divmo  23940  ornglmulle  29933
 Copyright terms: Public domain W3C validator