MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringsubdi 19278
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 11061 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t · = (.r𝑅)
ringsubdi.m = (-g𝑅)
ringsubdi.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x (𝜑𝑋𝐵)
ringsubdi.y (𝜑𝑌𝐵)
ringsubdi.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringsubdi (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringsubdi
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringsubdi.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringgrp 19231 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 ringsubdi.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
7 ringsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 eqid 2818 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
97, 8grpinvcl 18089 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
11 eqid 2818 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
12 ringsubdi.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
137, 11, 12ringdi 19245 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1364 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍))))
157, 12, 8, 1, 2, 6ringmneg2 19276 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍)) = ((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍)))
1615oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 · ((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
1714, 16eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
18 ringsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑅)
197, 11, 8, 18grpsubval 18087 . . . 4 ((𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍)))
203, 6, 19syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍)))
2120oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑍))))
227, 12ringcl 19240 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
231, 2, 3, 22syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
247, 12ringcl 19240 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
251, 2, 6, 24syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
267, 11, 8, 18grpsubval 18087 . . 3 (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
2723, 25, 26syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
2817, 21, 273eqtr4d 2863 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) (𝑋 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  -gcsg 18043  Ringcrg 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  19935  mdetuni0  21158  chfacfpmmulgsum2  21401  nrgdsdi  23201  nrginvrcnlem  23227  ply1divmo  24656  ornglmulle  30805
  Copyright terms: Public domain W3C validator