Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim2lt 14222
 Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlim2lt (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 14221 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simplr 792 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3601 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 ltle 10123 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
95, 7, 8syl2anc 693 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
109imim1d 82 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1110ralimdva 2961 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
122, 11sylan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1312reximdva 3016 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1413ralimdv 2962 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
154, 14sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
16 peano2re 10206 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
18 ltp1 10858 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
1918ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
2016ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
21 ltletr 10126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
225, 20, 7, 21syl3anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
2319, 22mpand 711 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
2423imim1d 82 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2524ralimdva 2961 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
262, 25sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
27 breq1 4654 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
2827imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2928ralbidv 2985 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3029rspcev 3307 . . . . . 6 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
3117, 26, 30syl6an 568 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3231rexlimdva 3029 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3332ralimdv 2962 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
341, 2, 3rlim2 14221 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3533, 34sylibrd 249 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
3615, 35impbid 202 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  ∃wrex 2912   ⊆ wss 3572   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  1c1 9934   + caddc 9936   < clt 10071   ≤ cle 10072   − cmin 10263  ℝ+crp 11829  abscabs 13968   ⇝𝑟 crli 14210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-rlim 14214 This theorem is referenced by:  rlim0lt  14234  rlimcnp  24686  xrlimcnp  24689
 Copyright terms: Public domain W3C validator