MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcld2 14250
Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
rlimcld2.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimcld2 (𝜑𝐶𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
21ralrimiva 2961 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
32adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6 rlimcl 14175 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
97, 8eldifd 3570 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10 rlimcld2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1110ralrimiva 2961 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13 nfcsb1v 3534 . . . . . 6 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅
1413nfel1 2775 . . . . 5 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+
15 csbeq1a 3527 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶 / 𝑦𝑅)
1615eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
1714, 16rspc 3292 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
189, 12, 17sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
193, 18, 5rlimi 14185 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
201adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
2120adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
22 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
2322ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
2423ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
26 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐷
27 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦
28 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(abs‘(𝑧𝐶))
2913, 27, 28nfbr 4664 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
3026, 29nfral 2940 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
31 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐶 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝐶))
3231fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑧𝐶)))
3315, 32breq12d 4631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
3433ralbidv 2981 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
3530, 34rspc 3292 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
369, 25, 35sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
3736ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
38 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐶) = (𝐵𝐶))
3938fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧𝐶)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
4039breq2d 4630 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4140rspcv 3294 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4221, 37, 41sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4318ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
4443rpred 11823 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ)
45 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
4645ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4746, 21sseldd 3588 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
487ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4947, 48subcld 10343 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
5049abscld 14116 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
5144, 50lenltd 10134 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)) ↔ ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
5242, 51mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
53 id 22 . . . . . . 7 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
5453imp 445 . . . . . 6 (((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥) → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
5552, 54nsyl 135 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
5655nrexdv 2996 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
57 rlimcld2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
58 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
5958, 1dmmptd 5986 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
60 rlimss 14174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
614, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
6259, 61eqsstr3d 3624 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
63 ressxr 10034 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
6462, 63syl6ss 3599 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65 supxrunb1 12099 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6757, 66mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6867adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6968r19.21bi 2927 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
70 r19.29 3066 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
7170expcom 451 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
7269, 71syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
7356, 72mtod 189 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7473nrexdv 2996 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7519, 74condan 834 1 (𝜑𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  csb 3518  cdif 3556  wss 3559   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8297  cc 9885  cr 9886  +∞cpnf 10022  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217  +crp 11783  abscabs 13915  𝑟 crli 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-rlim 14161
This theorem is referenced by:  rlimrege0  14251  rlimrecl  14252
  Copyright terms: Public domain W3C validator