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Theorem rlimclim 14227
Description: A sequence on an upper integer set converges in the real sense iff it converges in the integer sense. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
rlimclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlimclim (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem rlimclim
Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 rlimclim.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
5 rlimclim.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
6 fdm 6018 . . . . 5 (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
7 eqimss2 3643 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝑍𝑍 ⊆ dom 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑𝑍 ⊆ dom 𝐹)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
101, 3, 4, 9rlimclim1 14226 . 2 ((𝜑𝐹𝑟 𝐴) → 𝐹𝐴)
11 climcl 14180 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1211adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
132ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
15 eqidd 2622 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
16 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
171, 13, 14, 15, 16climi2 14192 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
18 uzssz 11667 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
191, 18eqsstri 3620 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ⊆ ℤ
20 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑍)
2119, 20sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
22 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤𝑍)
2319, 22sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ ℤ)
24 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑧𝑤)
25 eluz2 11653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (ℤ𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝑤))
2621, 23, 24, 25syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℤ𝑧))
27 simplrr 800 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
28 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑤 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑤))
2928oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑤 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) = ((𝐹𝑤) − 𝐴))
3029fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)))
3130breq1d 4633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3231rspcv 3295 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (ℤ𝑧) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3326, 27, 32sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ (𝑤𝑍𝑧𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)
3433expr 642 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3534ralrimiva 2962 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)) → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
3635expr 642 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
3736reximdva 3013 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
38 zssre 11344 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
3919, 38sstri 3597 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℝ
40 ssrexv 3652 . . . . . . 7 (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑧𝑍𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
4237, 41syl6 35 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑧)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦)))
4317, 42mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
4443ralrimiva 2962 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
455adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
4639a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
47 eqidd 2622 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴) ∧ 𝑤𝑍) → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑤))
4845, 46, 47rlim 14176 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → (𝐹𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑍 (𝑧𝑤 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))))
4912, 44, 48mpbir2and 956 . 2 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹𝑟 𝐴)
5010, 49impbida 876 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  wss 3560   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792  abscabs 13924  cli 14165  𝑟 crli 14166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fl 12549  df-clim 14169  df-rlim 14170
This theorem is referenced by:  climmpt2  14254  climrecl  14264  climge0  14265  caurcvg  14357  caucvg  14359  climfsum  14498  divcnv  14529  dfef2  24631
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