Theorem rlimcnp 25537

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ+)
rlimcnp.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
rlimcnp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
rlimcnp.c	⊢ (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
rlimcnp.s	⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
rlimcnp.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpreccl 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
2	1	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
3		rpreccl 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑡) ∈ ℝ+)
4		rpcnne0 12401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
5	4	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
6		recrec 11331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
8	7	eqcomd 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡)))
9		oveq2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (1 / 𝑡) → (1 / 𝑟) = (1 / (1 / 𝑡)))
10	9	rspceeqv 3637	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
11	3, 8, 10	syl2an2 684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
12		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → 𝑡 = (1 / 𝑟))
13	12	breq1d 5068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → (𝑡 < 𝑦 ↔ (1 / 𝑟) < 𝑦))
14	13	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → ((𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
15	14	ralbidv 3197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
16	2, 11, 15	rexxfrd 5301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
17	16	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
18		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ+)
19		rlimcnp.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ+)
20	19	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
21	20	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
22		elrp 12385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟))
23		elrp 12385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
24		ltrec1 11521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
25	22, 23, 24	syl2anb 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
26	18, 21, 25	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
27	26	imbi1d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
28	27	ralbidva 3196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
29	28	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
30		rpcn 12393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
31		rpne0 12399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≠ 0)
32	30, 31	recrecd 11407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
33	20, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
34		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	33, 34	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)
36		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
37		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
38	37	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
39	36, 38	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)))
40		rlimcnp.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
41	40	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
42	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
43	20	rpreccld 12435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
44	39, 42, 43	rspcdva 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
45	35, 44	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ 𝐴)
46	43	rpne0d 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
47		eldifsn 4712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝑦) ≠ 0))
48	45, 46, 47	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}))
49		eldifi 4102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
50	49	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51		rge0ssre 12838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
52		rlimcnp.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
53	52	ssdifssd 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (0[,)+∞))
54	53	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
55	51, 54	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
56		0re 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
57		pnfxr 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
58		elico2 12794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
59	56, 57, 58	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
60	59	simp2bi 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
61	54, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
62		eldifsni 4715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
63	62	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
64	55, 61, 63	ne0gt0d 10771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 < 𝑥)
65	55, 64	elrpd 12422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
66	65, 40	syldan 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
67	50, 66	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐵)
68		rpcn 12393	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
69		rpne0 12399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
70	68, 69	recrecd 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
71	65, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
72	71	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥)))
73		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑥)))
74	73	rspceeqv 3637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
75	67, 72, 74	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
76		breq1 5061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 < 𝑟 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
77		rlimcnp.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
78	77	fvoveq1d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) = (abs‘(𝑆 − 𝐶)))
79	78	breq1d 5068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
80	76, 79	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
81	80	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
82	48, 75, 81	ralxfrd 5300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
83	82	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
84	29, 83	bitr4d 284	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
85		elsni 4577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
86	85	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑥 = 0)
87		rlimcnp.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑅 = 𝐶)
89	88	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
90	87	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
91		rlimcnp.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
92	91	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
93		rlimcnp.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
94	90, 92, 93	rspcdva 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
95	94	subidd 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = 0)
96	95	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
97	89, 96	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅 − 𝐶) = 0)
98	97	abs00bd 14645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) = 0)
99		rpgt0 12395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
100	99	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 0 < 𝑧)
101	98, 100	eqbrtrd 5080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)
102	101	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
103	102	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
104	103	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
105	104	biantrud 534	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))))
106		ralunb 4166	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
107	105, 106	syl6bbr 291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
108		undif1 4423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝐴 ∪ {0})
109	93	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ 𝐴)
110	109	snssd 4735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {0} ⊆ 𝐴)
111		ssequn2 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
112	110, 111	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
113	108, 112	syl5eq 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = 𝐴)
114	113	raleqdv 3415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
115	84, 107, 114	3bitrd 307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
116	115	rexbidva 3296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
117	17, 116	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
118	117	ralbidva 3196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
119		nfv 1911	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟
120		nffvmpt1 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)
121		nfcv 2977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs ∘ − )
122		nffvmpt1 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)
123	120, 121, 122	nfov 7180	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0))
124		nfcv 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 <
125		nfcv 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
126	123, 124, 125	nfbr 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧
127	119, 126	nfim 1893	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)
128		nfv 1911	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)
129		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0))
130	129	breq1d 5068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 ↔ (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟))
131		fveq2 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥))
132	131	oveq1d 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)))
133	132	breq1d 5068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))
134	130, 133	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)))
135	127, 128, 134	cbvralw 3441	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))
136		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
137	93	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐴)
138	136, 137	ovresd 7309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥(abs ∘ − )0))
139	52, 51	sstrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
140		ax-resscn 10588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
141	139, 140	sstrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
142	141	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
143		0cnd 10628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
144		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
145	144	cnmetdval 23373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
146	142, 143, 145	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
147	142	subid1d 10980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
148	147	fveq2d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
149	138, 146, 148	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (abs‘𝑥))
150	139	sselda 3966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
151	52	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
152	151, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑥)
153	150, 152	absidd 14776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
154	149, 153	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = 𝑥)
155	154	breq1d 5068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑟))
156		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
157	156	fvmpt2 6773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
158	136, 91, 157	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
159	94	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
160	156, 87, 137, 159	fvmptd3 6785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0) = 𝐶)
161	158, 160	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (𝑅(abs ∘ − )𝐶))
162	144	cnmetdval 23373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
163	91, 159, 162	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
164	161, 163	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
165	164	breq1d 5068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
166	155, 165	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
167	166	ralbidva 3196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
168	135, 167	syl5bb 285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
169	168	rexbidv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
170	169	ralbidv 3197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
171	91	fmpttd 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ)
172	171	biantrurd 535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
173	118, 170, 172	3bitr2d 309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
174	77	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝑆 ∈ ℂ))
175	92	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
176	174, 175, 45	rspcdva 3624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
177	176	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑆 ∈ ℂ)
178		rpssre 12390	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
179	19, 178	sstrdi 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
180		1red 10636	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
181	177, 179, 94, 180	rlim3 14849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
182		0xr 10682	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
183		0lt1 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
184		df-ioo 12736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
185		df-ico 12738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
186		xrltletr 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
187	184, 185, 186	ixxss1 12750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
188	182, 183, 187	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
189		ioorp 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
190	188, 189	sseqtri 4002	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
191		ssrexv 4033	. . . . . . . 8 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
192	190, 191	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
193		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ+)
194	178, 193	sseldi 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ)
195	179	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ⊆ ℝ)
196	195	sselda 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
197		ltle 10723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑦 → 𝑡 ≤ 𝑦))
198	194, 196, 197	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑡 < 𝑦 → 𝑡 ≤ 𝑦))
199	198	imim1d 82	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
200	199	ralimdva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
201	200	reximdva 3274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
202	192, 201	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
203	202	ralimdv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
204	181, 203	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
205		ssrexv 4033	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℝ → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
206	178, 205	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
207	206	ralimi 3160	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
208	177, 179, 94	rlim2lt 14848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
209	207, 208	syl5ibr 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
210	204, 209	impbid 214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
211		cnxmet 23375	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
212		xmetres2 22965	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
213	211, 141, 212	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
214	211	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
215		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
216		rlimcnp.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
217	216	cnfldtopn 23384	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
218	215, 217	metcnp2 23146	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
219	213, 214, 93, 218	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
220	173, 210, 219	3bitr4d 313	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
221		rlimcnp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
222		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
223	222, 217, 215	metrest 23128	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
224	211, 141, 223	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
225	221, 224	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
226	225	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐽) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽))
227	226	fveq1d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0))
228	227	eleq2d 2898	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
229	220, 228	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ⊆ wss 3935  {csn 4560   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547   ↾ cres 5551   ∘ ccom 5553  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732  [,)cico 12734  abscabs 14587   ⇝_𝑟 crli 14836   ↾_t crest 16688  TopOpenctopn 16689  ∞Metcxmet 20524  MetOpencmopn 20529  ℂ_fldccnfld 20539   CnP ccnp 21827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-rlim 14840  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cnp 21830

This theorem is referenced by:  rlimcnp2  25538