MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimconst 14494
Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimconst ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10252 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
32subidd 10592 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
43fveq2d 6357 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
5 abs0 14244 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
64, 5syl6eq 2810 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = 0)
7 rpgt0 12057 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
87ad2antlr 765 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < 𝑦)
96, 8eqbrtrd 4826 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)
109a1d 25 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
1110ralrimiva 3104 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
12 breq1 4807 . . . . . . 7 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
1312imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦) ↔ (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)))
1413ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)))
1514rspcev 3449 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
161, 11, 15sylancr 698 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
1716ralrimiva 3104 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
18 simplr 809 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918ralrimiva 3104 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
20 simpl 474 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21 simpr 479 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2219, 20, 21rlim2 14446 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)))
2317, 22mpbird 247 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  +crp 12045  abscabs 14193  𝑟 crli 14435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-rlim 14439
This theorem is referenced by:  o1const  14569  rlimneg  14596  caucvgr  14625  fsumrlim  14762  dvfsumrlimge0  24012  dvfsumrlim2  24014  logexprlim  25170  chebbnd2  25386  chto1lb  25387  chpchtlim  25388  dchrisum0lem1  25425  selberglem2  25455  signsplypnf  30957
  Copyright terms: Public domain W3C validator