MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdm 14216
Description: Two ways to express that a function has a limit. (The expression ( ⇝𝑟𝐹) is sometimes useful as a shorthand for "the unique limit of the function 𝐹"). (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdm (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))

Proof of Theorem rlimdm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5279 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥))
21ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥)
3 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 𝑥)
4 df-fv 5855 . . . . . . 7 ( ⇝𝑟𝐹) = (℩𝑦𝐹𝑟 𝑦)
5 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
6 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8 rlimuni.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
10 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝐹𝑟 𝑦)
11 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝐹𝑟 𝑥)
127, 9, 10, 11rlimuni 14215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝑦 = 𝑥)
1312expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑦𝑦 = 𝑥))
14 breq2 4617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑥))
153, 14syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝑦 = 𝑥𝐹𝑟 𝑦))
1613, 15impbid 202 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑦𝑦 = 𝑥))
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑟 𝑦𝑦 = 𝑥))
1817iota5 5830 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑦𝐹𝑟 𝑦) = 𝑥)
195, 18mpan2 706 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (℩𝑦𝐹𝑟 𝑦) = 𝑥)
204, 19syl5eq 2667 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟𝐹) = 𝑥)
213, 20breqtrrd 4641 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹))
2221ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
2322exlimdv 1858 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
242, 23syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
25 rlimrel 14158 . . 3 Rel ⇝𝑟
2625releldmi 5322 . 2 (𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
2724, 26impbid1 215 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cio 5808  wf 5843  cfv 5847  supcsup 8290  cc 9878  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  𝑟 crli 14150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-rlim 14154
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  14339  caucvg  14343  dchrisum0lem3  25108
  Copyright terms: Public domain W3C validator