MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimeq 14241
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimeq.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimeq.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimeq.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐷𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimeq (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem rlimeq
StepHypRef Expression
1 rlimss 14174 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
2 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 rlimeq.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42, 3dmmptd 5986 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
54sseq1d 3616 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
61, 5syl5ib 234 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐸𝐴 ⊆ ℝ))
7 rlimss 14174 . . 3 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥𝐴𝐶) ⊆ ℝ)
8 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
9 rlimeq.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
108, 9dmmptd 5986 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐶) = 𝐴)
1110sseq1d 3616 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐶) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
127, 11syl5ib 234 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐴 ⊆ ℝ))
13 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14 elin 3779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
1513, 14sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
1615simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥𝐴)
1715simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞))
18 rlimeq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
19 elicopnf 12218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑥)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑥)))
2120biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑥))
2217, 21syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑥))
2322simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐷𝑥)
2416, 23jca 554 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥𝐴𝐷𝑥))
25 rlimeq.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐷𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
2624, 25syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐵 = 𝐶)
2726mpteq2dva 4709 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
28 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴
29 resmpt 5413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵)
31 resmpt 5413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶)
3327, 30, 323eqtr4g 2680 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34 resres 5373 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35 resres 5373 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
3633, 34, 353eqtr4g 2680 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = (((𝑥𝐴𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)))
37 ssid 3608 . . . . . . . 8 𝐴𝐴
38 resmpt 5413 . . . . . . . 8 (𝐴𝐴 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐵))
39 reseq1 5355 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐵) → (((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞))
41 resmpt 5413 . . . . . . . 8 (𝐴𝐴 → ((𝑥𝐴𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶))
42 reseq1 5355 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶) → (((𝑥𝐴𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
4337, 41, 42mp2b 10 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞))
4436, 40, 433eqtr3g 2678 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
4544breq1d 4628 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
4645adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
473, 2fmptd 6346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
4847adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
49 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5018adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
5148, 49, 50rlimresb 14237 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
529, 8fmptd 6346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
5352adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
5453, 49, 50rlimresb 14237 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
5546, 51, 543bitr4d 300 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
5655ex 450 . 2 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)))
576, 12, 56pm5.21ndd 369 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3558  wss 3559   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cres 5081  wf 5848  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  +∞cpnf 10022  cle 10026  [,)cico 12126  𝑟 crli 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-ico 12130  df-rlim 14161
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator