Theorem rlimo1 14975

Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimo1	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimf 14860	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	ffvelrnda 6853	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
4		1rp 12396	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 1 ∈ ℝ+)
6	1	feqmptd 6735	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
8	6, 7	eqbrtrrd 5092	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ⇝𝑟 𝐴)
9	3, 5, 8	rlimi 14872	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1))
10		rlimcl 14862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	abscld 14798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13		peano2re 10815	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
15	2	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
16	11	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15, 16	abs2difd 14819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)))
18	15	abscld 14798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
19	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	resubcld 11070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
21	15, 16	subcld 10999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐴) ∈ ℂ)
22	21	abscld 14798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ)
23		1red 10644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 1 ∈ ℝ)
24		lelttr 10733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
26	17, 25	mpand 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
27	18, 19, 23	ltsubadd2d 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
28	26, 27	sylibd 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
29	14	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
30		ltle 10731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
31	18, 29, 30	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
32	28, 31	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
33	32	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
34	33	ralimdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
35		breq2 5072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
36	35	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
37	36	ralbidv 3199	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
38	37	rspcev 3625	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
39	14, 34, 38	syl6an 682	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
40	39	reximdva 3276	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
41	9, 40	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
42		rlimss 14861	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
43		elo12 14886	. . 3 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
44	1, 42, 43	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
45	41, 44	mpbird 259	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℝ⁺crp 12392  abscabs 14595   ⇝_𝑟 crli 14844  𝑂(1)co1 14845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-rlim 14848  df-o1 14849

This theorem is referenced by:  rlimdmo1  14976  o1const  14978  chebbnd2  26055  chto1lb  26056  chpo1ub  26058  vmadivsum  26060  dchrvmasumlem2  26076  dchrisum0lem1  26094  dchrisum0lem2a  26095  mudivsum  26108  mulog2sumlem2  26113  vmalogdivsum2  26116  2vmadivsumlem  26118  selberglem2  26124  selberg2lem  26128  selberg4lem1  26138  pntrsumo1  26143  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem4  26158  pntrlog2bndlem5  26159