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Theorem rlimo1 14566
Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 14451 . . . . . 6 (𝐹𝑟 𝐴𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21ffvelrnda 6523 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
32ralrimiva 3104 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4 1rp 12049 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → 1 ∈ ℝ+)
61feqmptd 6412 . . . . 5 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)))
7 id 22 . . . . 5 (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝑟 𝐴)
86, 7eqbrtrrd 4828 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ⇝𝑟 𝐴)
93, 5, 8rlimi 14463 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1))
10 rlimcl 14453 . . . . . . . 8 (𝐹𝑟 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1211abscld 14394 . . . . . 6 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13 peano2re 10421 . . . . . 6 ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
152adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
1611adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℂ)
1715, 16abs2difd 14415 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)))
1815abscld 14394 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
1912adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2018, 19resubcld 10670 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
2115, 16subcld 10604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑧) − 𝐴) ∈ ℂ)
2221abscld 14394 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 10267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 1 ∈ ℝ)
24 lelttr 10340 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2617, 25mpand 713 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2718, 19, 23ltsubadd2d 10837 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
2826, 27sylibd 229 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
2914adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
30 ltle 10338 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3118, 29, 30syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3228, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3332imim2d 57 . . . . . 6 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3433ralimdva 3100 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
35 breq2 4808 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3635imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3736ralbidv 3124 . . . . . 6 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3837rspcev 3449 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤))
3914, 34, 38syl6an 569 . . . 4 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
4039reximdva 3155 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
419, 40mpd 15 . 2 (𝐹𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤))
42 rlimss 14452 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
43 elo12 14477 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
441, 42, 43syl2anc 696 . 2 (𝐹𝑟 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
4541, 44mpbird 247 1 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  +crp 12045  abscabs 14193  𝑟 crli 14435  𝑂(1)co1 14436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-rlim 14439  df-o1 14440
This theorem is referenced by:  rlimdmo1  14567  o1const  14569  chebbnd2  25386  chto1lb  25387  chpo1ub  25389  vmadivsum  25391  dchrvmasumlem2  25407  dchrisum0lem1  25425  dchrisum0lem2a  25426  mudivsum  25439  mulog2sumlem2  25444  vmalogdivsum2  25447  2vmadivsumlem  25449  selberglem2  25455  selberg2lem  25459  selberg4lem1  25469  pntrsumo1  25474  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem4  25489  pntrlog2bndlem5  25490
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