Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimre 14275
 Description: Limit of the real part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimabs.2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimre (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝𝑟 (ℜ‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimabs.2 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
31, 2rlimmptrcl 14272 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimcl 14168 . . 3 ((𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
52, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6 ref 13786 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
7 ax-resscn 9937 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
8 fss 6013 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
96, 7, 8mp2an 707 . . 3 ℜ:ℂ⟶ℂ
109a1i 11 . 2 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℂ)
11 recn2 14265 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐶))) < 𝑥))
125, 11sylan 488 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐶))) < 𝑥))
133, 5, 2, 10, 12rlimcn1b 14254 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝𝑟 (ℜ‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879   < clt 10018   − cmin 10210  ℝ+crp 11776  ℜcre 13771  abscabs 13908   ⇝𝑟 crli 14150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-rlim 14154 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator