MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimresb 14912
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimresb (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 14850 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
3 rlimcl 14850 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥𝐴)
86, 7sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
1312biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1413adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1514simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
1614simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑧)
17 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑥)
19 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
218, 18, 20mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2221anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2322anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24 biimt 362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2625pm5.74da 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27 bi2.04 389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2826, 27syl6bb 288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
2928pm5.74da 800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30 elin 4168 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
3130imbi1i 351 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32 impexp 451 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3331, 32bitri 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3429, 33syl6bbr 290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3534ralbidv2 3195 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3635rexbidva 3296 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3736ralbidv 3197 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4039ffvelrnda 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4140ralrimiva 3182 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
435adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
459adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4642, 43, 44, 45rlim3 14845 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47 elinel1 4171 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
4847, 40sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4948ralrimiva 3182 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
51 inss1 4204 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
5251, 5sstrid 3977 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5450, 53, 44, 45rlim3 14845 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
5538, 46, 543bitr4d 312 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5655ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
572, 4, 56pm5.21ndd 381 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5839feqmptd 6727 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
5958breq1d 5068 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60 resres 5860 . . . 4 ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61 ffn 6508 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62 fnresdm 6460 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6339, 61, 623syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6463reseq1d 5846 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
6558reseq1d 5846 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66 resmpt 5899 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6751, 66ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
6865, 67syl6eq 2872 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6960, 64, 683eqtr3a 2880 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
7069breq1d 5068 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
7157, 59, 703bitr4d 312 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  wrex 3139  cin 3934  wss 3935   class class class wbr 5058  cmpt 5138  cres 5551   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525  +∞cpnf 10661   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  +crp 12379  [,)cico 12730  abscabs 14583  𝑟 crli 14832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12734  df-rlim 14836
This theorem is referenced by:  rlimeq  14916  rlimcnp2  25472  cxp2lim  25482  pnt2  26117  pnt  26118
  Copyright terms: Public domain W3C validator