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Theorem rlimuni 14210
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3 (𝜑𝐹𝑟 𝐵)
rlimuni.4 (𝜑𝐹𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimuni (𝜑𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑟 𝐵)
2 rlimcl 14163 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑟 𝐵𝐵 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
43ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑟 𝐶)
6 rlimcl 14163 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
94, 8subcld 10337 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
109abscld 14104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1110ltnrd 10116 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1312ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514, 4abssubd 14121 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))))
1615breq1d 4628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ↔ (abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
1716anbi1d 740 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ↔ ((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
18 abs3lem 14007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2017, 19sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2120imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → (𝑗𝑘 → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))))
2221com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑗𝑘 → ((𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))))
2322impd 447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2411, 23mtod 189 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ¬ (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2524nrexdv 3000 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑘𝐴 (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
26 r19.29r 3071 . . . . 5 ((∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → ∃𝑘𝐴 (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2725, 26nsyl 135 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ¬ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2827nrexdv 3000 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
29 rlimuni.2 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
30 fdm 6010 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3112, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
32 rlimss 14162 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑟 𝐵 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
3431, 33eqsstr3d 3624 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
35 ressxr 10028 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3634, 35syl6ss 3600 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
37 supxrunb1 12089 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3836, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3929, 38mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘)
40 r19.29 3070 . . . . 5 ((∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
4140ex 450 . . . 4 (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))))
4239, 41syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))))
4328, 42mtod 189 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
4412adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
45 ffvelrn 6314 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4645ralrimiva 2965 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
483adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
497adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10337 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
51 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
5248, 49, 51subne0d 10346 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
5350, 52absrpcld 14116 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ+)
5453rphalfcld 11828 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∈ ℝ+)
5544feqmptd 6207 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
561adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹𝑟 𝐵)
5755, 56eqbrtrrd 4642 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐵)
5847, 54, 57rlimi 14173 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
595adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹𝑟 𝐶)
6055, 59eqbrtrrd 4642 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐶)
6147, 54, 60rlimi 14173 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
6234adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐴 ⊆ ℝ)
63 rexanre 14015 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6558, 61, 64mpbir2and 956 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
6665ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6766necon1bd 2814 . 2 (𝜑 → (¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → 𝐵 = 𝐶))
6843, 67mpd 15 1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  wss 3560   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  cc 9879  cr 9880  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  abscabs 13903  𝑟 crli 14145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-rlim 14149
This theorem is referenced by:  rlimdm  14211  rlimdmafv  40548
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