Theorem rmodislmodlem 19695

Description: Lemma for rmodislmod 19696. This is the part of the proof of rmodislmod 19696 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rmodislmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
rmodislmod.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
rmodislmod.t	⊢ × = (.r‘𝐹)
rmodislmod.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
rmodislmod.r	⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m	⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))

Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝑟,𝑎,𝑤   𝑠,𝑎,𝑣   𝑞,𝑏,𝑟,𝑤   𝑠,𝑏,𝑣   𝑠,𝑐,𝑣   𝑤,𝑐

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   ⨣ (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)   × (𝑎,𝑏,𝑐)   1 (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   ∗ (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐾(𝑤,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
2		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
3	2	2ralimi 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
4	3	2ralimi 3161	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
5		ralrot3 3361	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
6		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
7	6	grpbn0 18126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
8	7	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ≠ ∅
10		rspn0 4313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟)))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
12		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑞 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑟))
13	12	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)))
14		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑏))
15	14	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟))
16	13, 15	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟)))
17		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑏 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑎))
18	17	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)))
19		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎))
20	18, 19	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎)))
21		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
22		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
23	22	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
24	21, 23	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
25	16, 20, 24	rspc3v 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
26	25	3com12 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
27	11, 26	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
28	5, 27	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
29		eqcom 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
30	28, 29	syl6ibr 254	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
31	4, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
32	31	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
33	1, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
34	33	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
35		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
36		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ × = (.r‘𝐹)
37	35, 36	crngcom 19306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
38	37	3expb 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
39	38	expcom 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
40	39	ancoms 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
41	40	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
42	41	impcom 410	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
43	42	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
44	34, 43	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
45		rmodislmod.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
47		oveq12 7159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
48	47	ancoms 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
49	48	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
50		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝐾)
51		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
52		ovexd 7185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
53	46, 49, 50, 51, 52	ovmpod 7296	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
54	53	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = (𝑎 ∗ (𝑐 · 𝑏)))
55		oveq12 7159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = (𝑐 · 𝑏) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
56	55	ancoms 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑐 · 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
57	56	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑐 · 𝑏))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
58		simp1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
59		simpl1 1187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
60	59	2ralimi 3161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
61	60	2ralimi 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
62		ringgrp 19296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
63	35	grpbn0 18126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
65	64	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
66	1, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ≠ ∅
67		rspn0 4313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
69		ralcom 3354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
70		rspn0 4313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
71	9, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
72		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
73	72	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉))
74	22	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉 ↔ (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
75	73, 74	rspc2v 3633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
76	71, 75	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
77	69, 76	sylbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
78	61, 68, 77	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
79	78	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
80	1, 79	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
81	80	3adant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
82		ovexd 7185	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) ∈ V)
83	46, 57, 58, 81, 82	ovmpod 7296	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑐 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
84	54, 83	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
85	84	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
86		oveq12 7159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = (𝑎 × 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
87	86	ancoms 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
88	87	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
89	35, 36	ringcl 19305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
90	89	3expib 1118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
91	90	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
92	1, 91	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
93	92	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
94		ovexd 7185	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)) ∈ V)
95	46, 88, 93, 51, 94	ovmpod 7296	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
96	95	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
97	44, 85, 96	3eqtr4rd 2867	1 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3495  ∅c0 4291  ⟨cop 4567  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  Grpcgrp 18097  1_rcur 19245  Ringcrg 19291  CRingccrg 19292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ring 19293  df-cring 19294

This theorem is referenced by:  rmodislmod  19696