Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecsqrtnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecsqrtnq 36947
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
rmspecsqrtnq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnq
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11643 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
21sqcld 12946 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 9938 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 subcl 10224 . . . 4 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancl 693 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
65sqrtcld 14110 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7 eluz2nn 11670 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
87nnsqcld 12969 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9 nnm1nn0 11278 . . . 4 ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11 nnm1nn0 11278 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
127, 11syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13 binom2sub1 12922 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
141, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
15 2cnd 11037 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
1615, 1mulcld 10004 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
173a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
182, 16, 17subsubd 10364 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴↑2) − (2 · 𝐴)) + 1))
1914, 18eqtr4d 2658 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)))
20 1red 9999 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 2re 11034 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
23 eluzelre 11642 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 10014 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2524, 20resubcld 10402 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
268nnred 10979 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
27 eluz2gt1 11704 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
2820, 20, 23, 27, 27lt2addmuld 11226 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
29 remulcl 9965 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3021, 23, 29sylancr 694 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3120, 20, 30ltaddsubd 10571 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
3228, 31mpbid 222 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
3320, 25, 26, 32ltsub2dd 10584 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · 𝐴) − 1)) < ((𝐴↑2) − 1))
3419, 33eqbrtrd 4635 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
3526ltm1d 10900 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
36 npcan 10234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
371, 3, 36sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
3837oveq1d 6619 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
3935, 38breqtrrd 4641 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
40 nonsq 15391 . . 3 (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
4110, 12, 34, 39, 40syl22anc 1324 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
426, 41eldifd 3566 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cuz 11631  cq 11732  cexp 12800  csqrt 13907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-numer 15367  df-denom 15368
This theorem is referenced by:  rmspecnonsq  36949  rmxypairf1o  36953  rmxycomplete  36959  rmxyneg  36962  rmxyadd  36963  rmxy1  36964  rmxy0  36965  jm2.22  37039
  Copyright terms: Public domain W3C validator