Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmsuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmsuppfi 42053
 Description: The support of a mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finite if the support of the function is finite. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmsuppfi (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmsuppfi
StepHypRef Expression
1 simp3 1055 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
2 rmsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑀)
32rmsuppss 42050 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ⊆ (𝐴 supp (0g𝑀)))
433adant3 1073 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ⊆ (𝐴 supp (0g𝑀)))
5 ssfi 7941 . 2 (((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ⊆ (𝐴 supp (0g𝑀))) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
61, 4, 5syl2anc 690 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ⊆ wss 3444   ↦ cmpt 4541  ‘cfv 5689  (class class class)co 6426   supp csupp 7057   ↑𝑚 cmap 7620  Fincfn 7717  Basecbs 15579  .rcmulr 15653  0gc0g 15807  Ringcrg 18277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-plusg 15665  df-0g 15809  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-mgp 18220  df-ring 18279 This theorem is referenced by:  rmfsupp  42054
 Copyright terms: Public domain W3C validator