Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmulccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmulccn 29774
Description: Multiplication by a real constant is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rmulccn.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rmulccn.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rmulccn (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rmulccn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 22505 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
43cnmptid 21383 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5 rmulccn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 10019 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73, 3, 6cnmptc 21384 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8 ax-mulf 9967 . . . . . . . . 9 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 ffn 6007 . . . . . . . . 9 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 · Fn (ℂ × ℂ)
11 fnov 6728 . . . . . . . 8 ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)))
1210, 11mpbi 220 . . . . . . 7 · = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧))
131mulcn 22589 . . . . . . 7 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1412, 13eqeltrri 2695 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 oveq12 6619 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑥 · 𝐶))
173, 4, 7, 3, 3, 15, 16cnmpt12 21389 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18 ax-resscn 9944 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
192toponunii 20652 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2019cnrest 21008 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2117, 18, 20sylancl 693 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
236adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
2422, 23mulcld 10011 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
2524ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
26 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))
2726fnmpt 5982 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
29 fnssres 5967 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
3028, 18, 29sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
31 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
32 fvres 6169 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤))
33 recn 9977 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
34 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝐶) = (𝑤 · 𝐶))
35 ovex 6638 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 · 𝐶) ∈ V
3634, 26, 35fvmpt 6244 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3832, 37eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3931, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
405adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4131, 40remulcld 10021 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 · 𝐶) ∈ ℝ)
4239, 41eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
4342ralrimiva 2961 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
44 fnfvrnss 6351 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ) → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
4530, 43, 44syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
4618a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
47 cnrest2 21009 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
483, 45, 46, 47syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4921, 48mpbid 222 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
50 resmpt 5413 . . 3 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)))
5118, 50ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶))
52 rmulccn.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
531tgioo2 22525 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5452, 53eqtri 2643 . . . 4 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5554, 54oveq12i 6622 . . 3 (𝐽 Cn 𝐽) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5655eqcomi 2630 . 2 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn 𝐽)
5749, 51, 563eltr3g 2714 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3559  cmpt 4678   × cxp 5077  ran crn 5080  cres 5081   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  cc 9885  cr 9886   · cmul 9892  (,)cioo 12124  t crest 16009  TopOpenctopn 16010  topGenctg 16026  fldccnfld 19674  TopOnctopon 20643   Cn ccn 20947   ×t ctx 21282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046
This theorem is referenced by:  rrvmulc  30314
  Copyright terms: Public domain W3C validator