Theorem rmxy1 39512

Description: Value of the X and Y sequences at 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxy1	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1))

Proof of Theorem rmxy1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12006	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		rmxyval 39505	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑1))
3	1, 2	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑1))
4		rmbaserp 39509	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
5	4	rpcnd 12427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
6	5	exp1d 13499	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑1) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
7		rmspecpos 39506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
8	7	rpcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 14791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
10	9	mulid1d 10652	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
11	10	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1))
12	11	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)))
13	3, 6, 12	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)))
14		rmspecsqrtnq 39496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
15		nn0ssq 12350	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
16		frmx 39503	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
17	16	fovcl 7273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 1) ∈ ℕ0)
18	1, 17	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) ∈ ℕ0)
19	15, 18	sseldi 3964	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) ∈ ℚ)
20		zssq 12349	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
21		frmy 39504	. . . . . 6 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
22	21	fovcl 7273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 1) ∈ ℤ)
23	1, 22	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) ∈ ℤ)
24	20, 23	sseldi 3964	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) ∈ ℚ)
25		eluzelz 12247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
26		zq 12348	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℚ)
28	20, 1	sselii 3963	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℚ)
30		qirropth 39498	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 1) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 1) ∈ ℚ) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ↔ ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1)))
31	14, 19, 24, 27, 29, 30	syl122anc 1375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ↔ ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1)))
32	13, 31	mpbid 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℚcq 12342  ↑cexp 13423  √csqrt 14586   X_rm crmx 39490   Y_rm crmy 39491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-numer 16069  df-denom 16070  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-squarenn 39431  df-pell1qr 39432  df-pell14qr 39433  df-pell1234qr 39434  df-pellfund 39435  df-rmx 39492  df-rmy 39493

This theorem is referenced by:  rmx1  39516  rmy1  39520