Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxyadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxyadd 37001
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 37007 and rmyadd 37011 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 zaddcl 11369 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
323adant1 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4 rmxyval 36995 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
51, 3, 4syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6 eluzelz 11649 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
763ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 11435 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 zq 11746 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10 qsqcl 12883 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
12 zssq 11747 . . . . . . . . . . 11 ℤ ⊆ ℚ
13 1z 11359 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
1412, 13sselii 3584 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℚ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℚ)
16 qsubcl 11759 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
1711, 15, 16syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
18 qcn 11754 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
2019sqrtcld 14118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
218, 20addcld 10011 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
22 rmbaserp 36999 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
2322rpne0d 11829 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
24233ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
25 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
26 simp3 1061 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 expaddz 12852 . . . . 5 ((((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 1324 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
29 frmx 36993 . . . . . . . . 9 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
3130, 1, 25fovrnd 6766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 11305 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
33 frmy 36994 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ)
3534, 1, 25fovrnd 6766 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
3635zcnd 11435 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
3720, 36mulcld 10012 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
3830, 1, 26fovrnd 6766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11305 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
4034, 1, 26fovrnd 6766 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
4140zcnd 11435 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
4220, 41mulcld 10012 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
4332, 37, 39, 42muladdd 10441 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))))
44 rmxyval 36995 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
451, 25, 44syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
46 rmxyval 36995 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
471, 26, 46syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
4845, 47oveq12d 6628 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
4943, 48eqtr3d 2657 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
5020, 41, 20, 36mul4d 10200 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
5119msqsqrtd 14121 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = ((𝐴↑2) − 1))
5241, 36mulcomd 10013 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
5351, 52oveq12d 6628 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
5450, 53eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
5554oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
5632, 20, 41mul12d 10197 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
5739, 20, 36mul12d 10197 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
5856, 57oveq12d 6628 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
5932, 41mulcld 10012 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
6039, 36mulcld 10012 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
6120, 59, 60adddid 10016 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
6259, 60addcomd 10190 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
6339, 36mulcomd 10013 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
6463oveq1d 6625 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
6562, 64eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
6665oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
6758, 61, 663eqtr2d 2661 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
6855, 67oveq12d 6628 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
6928, 49, 683eqtr2d 2661 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
705, 69eqtrd 2655 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
71 rmspecsqrtnq 36985 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
72713ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
73 nn0ssq 11748 . . . 4 0 ⊆ ℚ
7430, 1, 3fovrnd 6766 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℕ0)
7573, 74sseldi 3585 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
7634, 1, 3fovrnd 6766 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℤ)
7712, 76sseldi 3585 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
7873, 31sseldi 3585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ)
7973, 38sseldi 3585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ)
80 qmulcl 11758 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
8178, 79, 80syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
8212, 35sseldi 3585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ)
8312, 40sseldi 3585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
84 qmulcl 11758 . . . . . 6 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
8582, 83, 84syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
86 qmulcl 11758 . . . . 5 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
8717, 85, 86syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
88 qaddcl 11756 . . . 4 ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
8981, 87, 88syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
90 qmulcl 11758 . . . . 5 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
9182, 79, 90syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
92 qmulcl 11758 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
9378, 83, 92syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
94 qaddcl 11756 . . . 4 ((((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
9591, 93, 94syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
96 qirropth 36988 . . 3 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ) ∧ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9772, 75, 77, 89, 95, 96syl122anc 1332 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9870, 97mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3556   × cxp 5077  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  cmin 10218  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  cq 11740  cexp 12808  csqrt 13915   Xrm crmx 36979   Yrm crmy 36980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-numer 15378  df-denom 15379  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-squarenn 36920  df-pell1qr 36921  df-pell14qr 36922  df-pell1234qr 36923  df-pellfund 36924  df-rmx 36981  df-rmy 36982
This theorem is referenced by:  rmxadd  37007  rmyadd  37011
  Copyright terms: Public domain W3C validator