Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxypos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxypos 36422
Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypos ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmxypos
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
21breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 0)))
3 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
43breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
52, 4anbi12d 742 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
65imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))))
7 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
87breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)))
9 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
109breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
118, 10anbi12d 742 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
1211imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))))
13 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
1413breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1))))
15 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
1615breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
1714, 16anbi12d 742 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
1817imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
19 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
2019breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
21 oveq2 6434 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
2221breq2d 4493 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
2320, 22anbi12d 742 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
2423imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))))
25 0lt1 10299 . . . . 5 0 < 1
26 rmx0 36398 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
2725, 26syl5breqr 4519 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝐴 Xrm 0))
28 0le0 10865 . . . . 5 0 ≤ 0
29 rmy0 36402 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
3028, 29syl5breqr 4519 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
3127, 30jca 552 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
32 simp2 1054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
33 nn0z 11141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
34333ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35 frmx 36386 . . . . . . . . . . . 12 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3635fovcl 6540 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
3732, 34, 36syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
3837nn0red 11107 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
39 eluzelre 11438 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
40393ad2ant2 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4138, 40remulcld 9825 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
42 rmspecpos 36389 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
4342rpred 11614 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
44433ad2ant2 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
45 frmy 36387 . . . . . . . . . . . 12 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
4645fovcl 6540 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
4732, 34, 46syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
4847zred 11222 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
4944, 48remulcld 9825 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
50 simp3l 1081 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
51 eluz2nn 11466 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
5251nngt0d 10819 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐴)
53523ad2ant2 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < 𝐴)
5438, 40, 50, 53mulgt0d 9943 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴))
5542rpge0d 11618 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
56553ad2ant2 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
57 simp3r 1082 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
5844, 48, 56, 57mulge0d 10353 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
59 addgtge0 10265 . . . . . . . 8 (((((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∧ 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) → 0 < (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
6041, 49, 54, 58, 59syl22anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
61 rmxp1 36405 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
6232, 34, 61syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
6360, 62breqtrrd 4509 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
6448, 40remulcld 9825 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
65 eluzge2nn0 11467 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
6665nn0ge0d 11109 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
67663ad2ant2 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ 𝐴)
6848, 40, 57, 67mulge0d 10353 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))
6937nn0ge0d 11109 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑏))
7064, 38, 68, 69addge0d 10352 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
71 rmyp1 36406 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
7232, 34, 71syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
7370, 72breqtrrd 4509 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
7463, 73jca 552 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
75743exp 1255 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
7675a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
776, 12, 18, 24, 31, 76nn0ind 11212 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
7877impcom 444 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6426  cr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696   < clt 9829  cle 9830  cmin 10017  2c2 10825  0cn0 11047  cz 11118  cuz 11427  cexp 12590   Xrm crmx 36372   Yrm crmy 36373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-omul 7328  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-acn 8527  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ioc 11920  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-mod 12399  df-seq 12532  df-exp 12591  df-fac 12791  df-bc 12820  df-hash 12848  df-shft 13514  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-limsup 13910  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-ef 14506  df-sin 14508  df-cos 14509  df-pi 14511  df-dvds 14691  df-gcd 14928  df-numer 15157  df-denom 15158  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-lp 20653  df-perf 20654  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cncf 22412  df-limc 23311  df-dv 23312  df-log 23994  df-squarenn 36313  df-pell1qr 36314  df-pell14qr 36315  df-pell1234qr 36316  df-pellfund 36317  df-rmx 36374  df-rmy 36375
This theorem is referenced by:  ltrmynn0  36423  ltrmxnn0  36424  rmxnn  36426  rmynn0  36432  rmyabs  36433  jm2.24nn  36434  jm2.17b  36436
  Copyright terms: Public domain W3C validator