Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmygeid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmygeid 37848
 Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmygeid ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))

Proof of Theorem rmygeid
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
2 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
31, 2breq12d 4698 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
5 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
6 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
75, 6breq12d 4698 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
9 id 22 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
10 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
119, 10breq12d 4698 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁𝑎 = 𝑁)
14 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
1513, 14breq12d 4698 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
17 0le0 11148 . . . 4 0 ≤ 0
18 rmy0 37811 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
1917, 18syl5breqr 4723 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
20 nn0z 11438 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
21203ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
2221peano2zd 11523 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
2322zred 11520 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℝ)
24 simp2 1082 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
25 frmy 37796 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2625fovcl 6807 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2724, 21, 26syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2827peano2zd 11523 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
2928zred 11520 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℝ)
3025fovcl 6807 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
3124, 22, 30syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
3231zred 11520 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
33 nn0re 11339 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
3527zred 11520 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
36 1red 10093 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 1 ∈ ℝ)
37 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
3834, 35, 36, 37leadd1dd 10679 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1))
3934ltp1d 10992 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 < (𝑏 + 1))
40 ltrmy 37836 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4124, 21, 22, 40syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4239, 41mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
43 zltp1le 11465 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4427, 31, 43syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4542, 44mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
4623, 29, 32, 38, 45letrd 10232 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
47463exp 1283 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
4847a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
494, 8, 12, 16, 19, 48nn0ind 11510 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
5049impcom 445 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725   Yrm crmy 37782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-squarenn 37722  df-pell1qr 37723  df-pell14qr 37724  df-pell1234qr 37725  df-pellfund 37726  df-rmx 37783  df-rmy 37784 This theorem is referenced by:  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  expdiophlem1  37905
 Copyright terms: Public domain W3C validator