MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rn0 5282
Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
rn0 ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0
StepHypRef Expression
1 dm0 5244 . 2 dom ∅ = ∅
2 dm0rn0 5247 . 2 (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
31, 2mpbi 218 1 ran ∅ = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  c0 3870  dom cdm 5025  ran crn 5026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-rab 2901  df-v 3171  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-br 4575  df-opab 4635  df-cnv 5033  df-dm 5035  df-rn 5036
This theorem is referenced by:  ima0  5384  0ima  5385  rnxpid  5469  xpima  5478  f0  5981  2ndval  7036  frxp  7148  oarec  7503  fodomr  7970  dfac5lem3  8805  itunitc  9100  0rest  15856  arwval  16459  pmtrfrn  17644  psgnsn  17706  oppglsm  17823  mpfrcl  19282  ply1frcl  19447  nbgra0edg  25724  uvtx01vtx  25783  rusgra0edg  26245  0ngrp  26512  bafval  26624  locfinref  29039  esumrnmpt2  29260  sibf0  29526  mvtval  30454  mrsubrn  30467  mrsub0  30470  mrsubf  30471  mrsubccat  30472  mrsubcn  30473  mrsubco  30475  mrsubvrs  30476  elmsubrn  30482  msubrn  30483  msubf  30486  mstaval  30498  mzpmfp  36128  dmnonrel  36715  imanonrel  36718  conrel1d  36774  clsneibex  37220  neicvgbex  37230  sge00  39070  0grsubgr  40501  0uhgrsubgr  40502
  Copyright terms: Public domain W3C validator