Theorem rn0 5798

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5792	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5797	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 232	1 ⊢ ran ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537  ∅c0 4293  dom cdm 5557  ran crn 5558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-cnv 5565  df-dm 5567  df-rn 5568

This theorem is referenced by:  ima0  5947  0ima  5948  rnxpid  6032  xpima  6041  f0  6562  rnfvprc  6666  2ndval  7694  frxp  7822  oarec  8190  fodomr  8670  dfac5lem3  9553  itunitc  9845  0rest  16705  arwval  17305  psgnsn  18650  oppglsm  18769  mpfrcl  20300  ply1frcl  20483  edgval  26836  0grsubgr  27062  0uhgrsubgr  27063  0ngrp  28290  bafval  28383  tocycf  30761  tocyc01  30762  locfinref  31107  esumrnmpt2  31329  sibf0  31594  mvtval  32749  mrsubvrs  32771  mstaval  32793  mzpmfp  39351  dmnonrel  39957  imanonrel  39960  conrel1d  40015  clsneibex  40459  neicvgbex  40469  sge00  42665