Theorem rnct 9941

Description: The range of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rnct	⊢ (𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem rnct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvct 8580	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)
2		dmct 9940	. 2 ⊢ (◡𝐴 ≼ ω → dom ◡𝐴 ≼ ω)
3		df-rn 5560	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
4	3	breq1i 5065	. . 3 ⊢ (ran 𝐴 ≼ ω ↔ dom ◡𝐴 ≼ ω)
5	4	biimpri 230	. 2 ⊢ (dom ◡𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)
6	1, 2, 5	3syl 18	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5058  ^◡ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550  ωcom 7574   ≼ cdom 8501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-ac2 9879

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536

This theorem is referenced by:  abrexctf  30448  sigapildsys  31416  dya2iocct  31533  omssubadd  31553  carsgclctunlem2  31572  pmeasadd  31578  smfpimcc  43076