Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngchomfval 42476
 Description: Set of arrows of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcbas.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
rngchomfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rngchomfval (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem rngchomfval
StepHypRef Expression
1 rngchomfval.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2 rngcbas.c . . . . 5 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3 rngcbas.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 rngcbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
52, 4, 3rngcbas 42475 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
6 eqidd 2761 . . . . 5 (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
72, 3, 5, 6rngcval 42472 . . . 4 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))))
87fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
91, 8syl5eq 2806 . 2 (𝜑𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10 eqid 2760 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11 eqid 2760 . . 3 (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12 fvexd 6364 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
135, 6rnghmresfn 42473 . . 3 (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14 inss1 3976 . . . . 5 (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
16 eqid 2760 . . . . . 6 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
1716, 3estrcbas 16966 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
1817eqcomd 2766 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
1915, 5, 183sstr4d 3789 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
2010, 11, 12, 13, 19reschom 16691 . 2 (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
219, 20eqtr4d 2797 1 (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   × cxp 5264   ↾ cres 5268  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  Hom chom 16154   ↾cat cresc 16669  ExtStrCatcestrc 16963  Rngcrng 42384   RngHomo crngh 42395  RngCatcrngc 42467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-hom 16168  df-cco 16169  df-resc 16672  df-estrc 16964  df-rnghomo 42397  df-rngc 42469 This theorem is referenced by:  rngchom  42477  rngchomfeqhom  42479  rngccofval  42480  rnghmsubcsetclem1  42485  rngcifuestrc  42507  funcrngcsetc  42508  rhmsubcrngc  42539  rhmsubc  42600
 Copyright terms: Public domain W3C validator