Theorem rngcrescrhm 41899

Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngcrescrhm	⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2609	. 2 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐻) = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		fvex 6098	. . . 4 ⊢ (RngCat‘𝑈) ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2683	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
6		rngcrescrhm.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
7		incom 3766	. . . 4 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
8	6, 7	syl6eq 2659	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
9		rngcrescrhm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		inex1g 4724	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
12	8, 11	eqeltrd 2687	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
13		inss1 3794	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
14	6, 13	syl6eqss 3617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
15		xpss12 5137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16	14, 14, 15	syl2anc 690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
17		rhmfn 41730	. . . . 5 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
18		fnssresb 5903	. . . . 5 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
19	17, 18	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
20	16, 19	mpbird 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
21		rngcrescrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
22	21	fneq1i 5885	. . 3 ⊢ (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
23	20, 22	sylibr 222	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
24	1, 5, 12, 23	rescval2 16260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172   ∩ cin 3538   ⊆ wss 3539  ⟨cop 4130   × cxp 5026   ↾ cres 5030   Fn wfn 5785  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  ndxcnx 15641   sSet csts 15642   ↾_s cress 15645  Hom chom 15728   ↾_cat cresc 16240  Ringcrg 18319   RingHom crh 18484  RngCatcrngc 41771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-plusg 15730  df-0g 15874  df-resc 16243  df-mhm 17107  df-ghm 17430  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-rnghom 18487

This theorem is referenced by: (None)