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Theorem rngdir 41670
Description: Distributive law for the multiplication operation of a nonunital ring (right-distributivity). (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngdi.p + = (+g𝑅)
rngdi.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rngdir ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngdir
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngdi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2605 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3 rngdi.p . . . 4 + = (+g𝑅)
4 rngdi.t . . . 4 · = (.r𝑅)
51, 2, 3, 4isrng 41664 . . 3 (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
6 oveq1 6530 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)))
7 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
8 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
97, 8oveq12d 6541 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)))
106, 9eqeq12d 2620 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐))))
11 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑏))
1211oveq1d 6538 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐))
138oveq1d 6538 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))
1412, 13eqeq12d 2620 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))))
1510, 14anbi12d 742 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
16 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑐))
1716oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)))
18 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
1918oveq1d 6538 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)))
2017, 19eqeq12d 2620 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐))))
21 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑌))
2221oveq1d 6538 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐))
23 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
2423oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))
2522, 24eqeq12d 2620 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))))
2620, 25anbi12d 742 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))))
27 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑍))
2827oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)))
29 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
3029oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
3128, 30eqeq12d 2620 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
32 oveq2 6531 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍))
33 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
3429, 33oveq12d 6541 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
3532, 34eqeq12d 2620 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
3631, 35anbi12d 742 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
3715, 26, 36rspc3v 3291 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
38 simpr 475 . . . . 5 (((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
3937, 38syl6com 36 . . . 4 (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
40393ad2ant3 1076 . . 3 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
415, 40sylbi 205 . 2 (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
4241imp 443 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  SGrpcsgrp 17048  Abelcabl 17959  mulGrpcmgp 18254  Rngcrng 41662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-nul 4708
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-iota 5750  df-fv 5794  df-ov 6526  df-rng0 41663
This theorem is referenced by:  rnglz  41672
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