MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngsubdir 18581
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 10449 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t · = (.r𝑅)
ringsubdi.m = (-g𝑅)
ringsubdi.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x (𝜑𝑋𝐵)
ringsubdi.y (𝜑𝑌𝐵)
ringsubdi.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
rngsubdir (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdir
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringgrp 18533 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 ringsubdi.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
6 ringsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2620 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
86, 7grpinvcl 17448 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
94, 5, 8syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10 ringsubdi.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
11 eqid 2620 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
12 ringsubdi.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
136, 11, 12ringdir 18548 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
141, 2, 9, 10, 13syl13anc 1326 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
156, 12, 7, 1, 5, 10ringmneg1 18577 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
1615oveq2d 6651 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
1714, 16eqtrd 2654 . 2 (𝜑 → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
18 ringsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑅)
196, 11, 7, 18grpsubval 17446 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
202, 5, 19syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
2120oveq1d 6650 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
226, 12ringcl 18542 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
231, 2, 10, 22syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
246, 12ringcl 18542 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
251, 5, 10, 24syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
266, 11, 7, 18grpsubval 17446 . . 3 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
2723, 25, 26syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
2817, 21, 273eqtr4d 2664 1 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  Grpcgrp 17403  invgcminusg 17404  -gcsg 17405  Ringcrg 18528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  19215  cpmadugsumfi  20663  nrgdsdir  22451  nrginvrcnlem  22476  orngrmulle  29780  lidldomn1  41686
  Copyright terms: Public domain W3C validator