Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngurd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngurd 30784
Description: Deduce the unit of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rngurd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
rngurd.p (𝜑· = (.r𝑅))
rngurd.z (𝜑1𝐵)
rngurd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
rngurd.j ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
rngurd (𝜑1 = (1r𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rngurd
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2818 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2818 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3dfur2 19183 . 2 (1r𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5 rngurd.z . . . 4 (𝜑1𝐵)
6 rngurd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
75, 6eleqtrd 2912 . . 3 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
8 rngurd.i . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9 rngurd.j . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
108, 9jca 512 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
1110ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12 rngurd.p . . . . . . . . 9 (𝜑· = (.r𝑅))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → · = (.r𝑅))
1413oveqd 7162 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
1514eqeq1d 2820 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
1613oveqd 7162 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
1716eqeq1d 2820 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
1815, 17anbi12d 630 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
196, 18raleqbidva 3423 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
2011, 19mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
216eleq2d 2895 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑒𝐵𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
2213oveqd 7162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r𝑅)𝑥))
2322eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
2413oveqd 7162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r𝑅)𝑒))
2524eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))
2623, 25anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
276, 26raleqbidva 3423 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
2821, 27anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))))
298ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑒𝐵)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
3332oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
3433, 32eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3531, 34rspcdv 3612 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
3736adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
385adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1𝐵)
39 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1𝑥 = 1 )
4240, 41eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
4443, 41eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4542, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
4645rspcva 3618 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4746simprd 496 . . . . . . . . . 10 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4838, 39, 47syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4937, 48eqtr3d 2855 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
5049ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5128, 50sylbird 261 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5251alrimiv 1919 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53 eleq1 2897 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 1 → (𝑒(.r𝑅)𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
5554eqeq1d 2820 . . . . . . . 8 (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
5655ovanraleqv 7169 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
5753, 56anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))))
5857eqeu 3694 . . . . 5 (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
597, 7, 20, 52, 58syl121anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
6057iota2 6337 . . . 4 (( 1𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
615, 59, 60syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
627, 20, 61mpbi2and 708 . 2 (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
634, 62syl5req 2866 1 (𝜑1 = (1r𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1526   = wceq 1528  wcel 2105  ∃!weu 2646  wral 3135  cio 6305  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  1rcur 19180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgp 19169  df-ur 19181
This theorem is referenced by:  ress1r  30787
  Copyright terms: Public domain W3C validator