Theorem rnxp 6021

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5560	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6008	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5767	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2844	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5793	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	syl5eq 2868	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ≠ wne 3016  ∅c0 4290   × cxp 5547  ^◡ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-dm 5559  df-rn 5560

This theorem is referenced by:  rnxpid  6024  ssxpb  6025  xpima  6033  unixp  6127  fconst5  6962  rnmptc  6963  xpexr  7617  xpexr2  7618  fparlem3  7803  fparlem4  7804  frxp  7814  fodomr  8662  djuexb  9332  dfac5lem3  9545  fpwwe2lem13  10058  vdwlem8  16318  ramz  16355  gsumxp  19090  xkoccn  22221  txindislem  22235  cnextf  22668  metustexhalf  23160  ovolctb  24085  axlowdimlem13  26734  axlowdim1  26739  imadifxp  30345  sibf0  31587  ovoliunnfl  34928  voliunnfl  34930