Theorem root1cj 25331

Description: Within the 𝑁-th roots of unity, the conjugate of the 𝐾-th root is the 𝑁 − 𝐾-th root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
root1cj	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem root1cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11745	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2re 11705	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nndivre 11672	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10663	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 25251	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 589	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 11747	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 25290	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		nnz 11998	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	8, 12, 13, 15	expsubd 13515	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
17		root1id 25329	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
18	17	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
19	18	oveq1d 7165	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
20	8, 12, 13	expclzd 13509	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ)
21	8, 12, 13	expne0d 13510	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0)
22		recval 14676	. . . 4 ⊢ ((((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ ∧ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
24		absexpz 14659	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
25	8, 12, 13, 24	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
26		abscxp2 25270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℝ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
27	1, 5, 26	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
28		ax-1cn 10589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28	absnegi 14754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
30		abs1 14651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
31	29, 30	eqtri 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘-1) = 1
32	31	oveq1i 7160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)) = (1↑𝑐(2 / 𝑁))
33	27, 32	syl6eq 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (1↑𝑐(2 / 𝑁)))
34	6	1cxpd 25284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝑐(2 / 𝑁)) = 1)
35	33, 34	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)
36	35	oveq1d 7165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾) = (1↑𝐾))
37		1exp 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑𝐾) = 1)
38	37	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝐾) = 1)
39	25, 36, 38	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = 1)
40	39	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = (1↑2))
41		sq1 13552	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
42	40, 41	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = 1)
43	42	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1))
44	20	cjcld 14549	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) ∈ ℂ)
45	44	div1d 11402	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1) = (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
46	23, 43, 45	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
47	16, 19, 46	3eqtrrd 2861	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℤcz 11975  ↑cexp 13423  ∗ccj 14449  abscabs 14587  ↑_𝑐ccxp 25133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135

This theorem is referenced by:  1cubrlem  25413