MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0 11794
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0
StepHypRef Expression
1 rpcn 11785 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 rpne0 11792 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2jca 554 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790  cc 9878  0cc0 9880  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  rpcndif0  11795  mod0  12615  modlt  12619  modcyc  12645  modmuladdnn0  12654  moddi  12678  modirr  12681  aaliou3lem3  24003  aaliou3lem8  24004  reeff1o  24105  reeflog  24231  relogeftb  24235  rpcxpcl  24322  relogbcxp  24423  rlimcnp  24592  rlimcnp2  24593  divsqrtsumlem  24606  harmonicbnd4  24637  logfacrlim  24849  logexprlim  24850  vmadivsum  25071  dchrmusum2  25083  dchrvmasumlem2  25087  dchrvmasumiflem1  25090  dchrisum0lem2a  25106  mudivsum  25119  mulogsumlem  25120  mulog2sumlem2  25124  selberglem2  25135  selberg2lem  25139  selberg2  25140  pntrsumo1  25154  selbergr  25157  pntibndlem2  25180  pntibndlem3  25181  pntlemb  25186  pntlemr  25191  pntlemf  25194  blocnilem  27508  minvecolem3  27581  itg2addnclem2  33094  fllogbd  41646
  Copyright terms: Public domain W3C validator