Theorem rpcnne0 12410

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12402	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12408	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 514	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ℂcc 10537  0cc0 10539  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-addrcl 10600  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12411  mod0  13247  modlt  13251  modcyc  13277  modmuladdnn0  13286  moddi  13310  modirr  13313  aaliou3lem3  24935  aaliou3lem8  24936  reeff1o  25037  reeflog  25166  relogeftb  25170  rpcxpcl  25261  relogbcxp  25365  rlimcnp  25545  rlimcnp2  25546  divsqrtsumlem  25559  harmonicbnd4  25590  logfacrlim  25802  logexprlim  25803  vmadivsum  26060  dchrmusum2  26072  dchrvmasumlem2  26076  dchrvmasumiflem1  26079  dchrisum0lem2a  26095  mudivsum  26108  mulogsumlem  26109  mulog2sumlem2  26113  selberglem2  26124  selberg2lem  26128  selberg2  26129  pntrsumo1  26143  selbergr  26146  pntibndlem2  26169  pntibndlem3  26170  pntlemb  26175  pntlemr  26180  pntlemf  26183  blocnilem  28583  minvecolem3  28655  itg2addnclem2  34946  fllogbd  44627