MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdivcl 11808
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 11791 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rprene0 11801 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3 redivcl 10696 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
433expb 1263 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
51, 2, 4syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6 elrp 11786 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7 elrp 11786 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
8 divgt0 10843 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
96, 7, 8syl2anb 496 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
10 elrp 11786 . 2 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
115, 9, 10sylanbrc 697 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888   < clt 10026   / cdiv 10636  +crp 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-rp 11785
This theorem is referenced by:  rpreccl  11809  rphalfcl  11810  rpdivcld  11841  bcrpcl  13043  sqrlem7  13931  caurcvgr  14346  isprm5  15354  4sqlem12  15595  sylow1lem1  17945  metss2lem  22239  metss2  22240  minveclem3  23123  ovoliunlem3  23195  vitalilem4  23303  aaliou3lem8  24021  abelthlem8  24114  pige3  24190  advlogexp  24318  atan1  24572  log2cnv  24588  cxp2limlem  24619  harmonicbnd4  24654  basellem1  24724  logexprlim  24867  logfacrlim2  24868  bcmono  24919  bposlem1  24926  bposlem7  24932  bposlem9  24934  rplogsumlem1  25090  dchrisumlem3  25097  dchrvmasum2lem  25102  dchrvmasum2if  25103  dchrvmasumlem2  25104  dchrvmasumlem3  25105  dchrvmasumiflem2  25108  dchrisum0lem2a  25123  dchrisum0lem2  25124  mudivsum  25136  mulogsumlem  25137  mulogsum  25138  mulog2sumlem1  25140  mulog2sumlem2  25141  mulog2sumlem3  25142  selberglem1  25151  selberglem2  25152  selberg  25154  selberg3lem1  25163  selbergr  25174  pntpbnd1a  25191  pntibndlem1  25195  pntibndlem3  25198  pntlema  25202  pntlemb  25203  pntlemg  25204  pntlemr  25208  pntlemj  25209  pntlemf  25211  smcnlem  27422  blocnilem  27529  minvecolem3  27602  nmcexi  28755  circum  31311  faclim  31375  taupilem1  32835  pigt3  33069  poimirlem29  33105  mblfinlem3  33115  itg2addnclem2  33129  itg2addnclem3  33130  ftc1anclem7  33158  ftc1anc  33160  heiborlem5  33281  heiborlem7  33283  proot1ex  37295
  Copyright terms: Public domain W3C validator