Theorem rpexpcl 13073

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12041	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 12036	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 10185	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3753	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 12048	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 12029	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 12050	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 13066	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1477	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   / cdiv 10876  ℤcz 11569  ℝ⁺crp 12025  ↑cexp 13054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055

This theorem is referenced by:  expgt0  13087  ltexp2a  13106  expcan  13107  ltexp2  13108  leexp2a  13110  ltexp2r  13111  expnlbnd2  13189  rpexpcld  13226  expcnv  14795  effsumlt  15040  ef01bndlem  15113  rpnnen2lem11  15152  iscmet3lem3  23288  iscmet3lem1  23289  iscmet3lem2  23290  iscmet3  23291  minveclem3  23400  pjthlem1  23408  aaliou3lem1  24296  aaliou3lem2  24297  aaliou3lem3  24298  aaliou3lem8  24299  aaliou3lem5  24301  aaliou3lem6  24302  aaliou3lem7  24303  aaliou3lem9  24304  tanregt0  24484  asinlem3  24797  cxp2limlem  24901  ftalem5  25002  basellem3  25008  basellem4  25009  basellem8  25013  chebbnd1lem3  25359  dchrisum0lem1a  25374  dchrisum0lem1b  25403  dchrisum0lem1  25404  dchrisum0lem2a  25405  dchrisum0lem2  25406  dchrisum0lem3  25407  pntlemd  25482  pntlema  25484  pntlemb  25485  pntlemh  25487  pntlemr  25490  pntlemi  25492  pntlemf  25493  pntlemo  25495  pntlem3  25497  pntleml  25499  ostth2lem1  25506  ostth3  25526  minvecolem3  28041  pjhthlem1  28559  dpexpp1  29925  dya2icoseg  30648  faclimlem3  31938  geomcau  33868  dignnld  42907