MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpexpcld 12980
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
rpexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld
StepHypRef Expression
1 rpexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 rpexpcl 12827 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  (class class class)co 6610  cz 11329  +crp 11784  cexp 12808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809
This theorem is referenced by:  bitsfzolem  15091  bitsfzo  15092  bitsmod  15093  bitsinv1  15099  sadasslem  15127  sadeq  15129  plyeq0lem  23887  aalioulem4  24011  aalioulem5  24012  aalioulem6  24013  aaliou  24014  aaliou3lem8  24021  nnlogbexp  24436  lgamgulmlem3  24674  ftalem5  24720  basellem3  24726  rplogsumlem2  25091  rpvmasumlem  25093  pntlemh  25205  pntlemq  25207  pntlemr  25208  pntlemj  25209  pntlemf  25211  padicabv  25236  ostth2lem3  25241  2sqmod  29457  dya2ub  30137  dya2iocress  30141  dya2iocbrsiga  30142  dya2icobrsiga  30143  sxbrsigalem2  30153  omssubadd  30167  signsply0  30432  faclim  31375  iprodfac  31376  knoppndvlem17  32196  knoppndvlem18  32197  geomcau  33222  pellfund14  36977  dvdivbd  39471  stirlinglem1  39624  stirlinglem2  39625  stirlinglem4  39627  stirlinglem8  39631  stirlinglem10  39633  stirlinglem11  39634  stirlinglem13  39636  stirlinglem15  39638  stirlingr  39640  sge0ad2en  39981  ovnsubaddlem1  40117  fllog2  41680  dignn0flhalflem1  41727  dignn0flhalflem2  41728
  Copyright terms: Public domain W3C validator