MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpge0d 11711
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpge0 11680 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4578  0cc0 9793  cle 9932  +crp 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-rp 11668
This theorem is referenced by:  rprege0d  11714  sqrlem5  13784  isumrpcl  14363  isumltss  14368  harmonic  14379  expcnv  14384  prmreclem5  15411  prmreclem6  15412  4sqlem7  15435  nmoi2  22292  reperflem  22377  lebnumii  22521  nmoleub2lem3  22671  nmoleub3  22675  lmnn  22814  minveclem3  22953  pjthlem1  22961  ovoliunlem1  23022  vitalilem4  23131  vitali  23133  itg2const2  23259  itggt0  23359  lhop1lem  23525  plyeq0lem  23715  aalioulem4  23839  aaliou3lem2  23847  aaliou3lem3  23848  pserdvlem2  23931  abelthlem7  23941  pilem2  23955  pilem3  23956  divlogrlim  24126  logtayllem  24150  cxpge0  24174  divcxp  24178  cxpsqrtlem  24193  cxpsqrt  24194  abscxpbnd  24239  asinlem3  24343  leibpi  24414  birthdaylem3  24425  rlimcnp3  24439  cxplim  24443  rlimcxp  24445  cxp2limlem  24447  cxp2lim  24448  jensenlem2  24459  amgmlem  24461  emcllem2  24468  emcllem4  24470  emcllem6  24472  fsumharmonic  24483  zetacvg  24486  lgamgulmlem2  24501  lgamgulmlem3  24502  lgamgulmlem5  24504  lgamcvg2  24526  regamcl  24532  ftalem3  24546  ftalem5  24548  basellem6  24557  basellem8  24559  chtge0  24583  chtwordi  24627  chpval2  24688  chpchtsum  24689  chpub  24690  bposlem1  24754  bposlem2  24755  bposlem4  24757  bposlem5  24758  bposlem6  24759  bposlem7  24760  bposlem9  24762  lgsquadlem2  24851  chtppilimlem1  24907  chtppilimlem2  24908  chtppilim  24909  chpchtlim  24913  rplogsumlem1  24918  rplogsumlem2  24919  dchrisum0lem1a  24920  rpvmasumlem  24921  dchrisumlema  24922  2vmadivsumlem  24974  logdivbnd  24990  selberg3lem1  24991  selberg3lem2  24992  selberg4lem1  24994  pntrsumbnd2  25001  pntrlog2bndlem1  25011  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem3  25013  pntrlog2bndlem4  25014  pntrlog2bndlem5  25015  pntrlog2bndlem6a  25016  pntrlog2bndlem6  25017  pntrlog2bnd  25018  pntibndlem2  25025  pntlemg  25032  pntlemk  25040  pntlem3  25043  pntleml  25045  ostth2lem1  25052  padicabv  25064  ostth2lem3  25069  ostth3  25072  ubthlem2  26905  minvecolem3  26910  minvecolem5  26915  pjhthlem1  27428  sqsscirc1  29076  omssubaddlem  29482  knoppndvlem18  31484  taupilemrplb  32137  poimirlem29  32402  itggt0cn  32446  geomcau  32519  cntotbnd  32559  rrndstprj2  32594  irrapxlem5  36202  pell1qrgaplem  36249  pell14qrgapw  36252  pellqrex  36255  rpexpmord  36325  rmxypos  36326  binomcxplemnotnn0  37371  recnnltrp  38328  rpgtrecnn  38332  stoweidlem3  38690  stoweidlem26  38713  wallispilem4  38755  wallispi  38757  wallispi2lem1  38758  stirlinglem1  38761  stirlinglem4  38764  stirlinglem10  38770  stirlinglem11  38771  stirlinglem12  38772  fourierdlem39  38833  fourierdlem42  38836  fourierdlem87  38880  fourierdlem107  38900  rrndistlt  38980  sge0rpcpnf  39108  ovnsubaddlem1  39254  hoidmvlelem2  39280  hoidmvlelem4  39282  ovolval5lem1  39336  vonioolem1  39365
  Copyright terms: Public domain W3C validator